Kumpulan Pembahasan Lengkap Soal Latihan Matriks

dalam kehidupan kita sehari-hari kadangkala kita berbelanja kebutuhan pokok secara borongan tanpa terlebih dahulu mengetahui harga untuk masing-masing barang. Di waktu lain kita terus mengulangi melakukan aktivitas itu. Masalah ini bisa kita selesaikan dengan memanfaatkan penggunaan matriks. Dengan matriks, kita dapat menyusun harga dan jumlah barang-barang sebagai kombinasi baris dan kolom dalam matriks. Dengan sedikit operasi matriks, kita akan dapat menentukan harga masing-masing barang. Bagaimana hal itu bisa dilakukan? Agar dapat menjawab masalah-masalah seperti itu, pelajari materi matriks beriku ini. Kenalilah bagaimana cara menentukan matriks.

Defenisi Matriks

Apabila judul kolom dua baris tersebut dihilangkan dan susunan bilangan dibatasi dalam tanda kurung, maka disebut matriks. Matriks dari Contoh 2.1, 2.2, dan 2.3 adalah sebagai berikut.

Setiap bilangan dalam matriks disebut elemen atau unsur matriks yang letaknya ditentukan oleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya dalam Contoh 2.3, angka 4 adalah unsur pada baris pertama dan kolom kedua. Sebuah matriks seringkali dinyatakan dengan huruf besar (kapital).

Bentuk umum suatu matriks:

Matriks adalah susunan bilangan dalam bentuk persegi panjang yang disusun dalam baris dan kolom.

Ordo Matriks

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti oleh banyaknya kolom.

- Ordo matriks P adalah 3 x 3, karena terdiri atas 3 baris dan 3 kolom

- Ordo matriks B adalah 1 x 3, karena terdiri atas 1 baris dan 3 kolom

- Ordo matriks D adalah 3 x 1, karena terdiri atas 3 baris dan 1 kolom

- Ordo matriks E adalah 2 x 2, karena terdiri atas 2 baris dan 2 kolom.

Jenis-jenis Matriks

Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain:

a) Matriks Nol

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol. Misalnya,

b) Matriks Baris

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya 

[1, 7], dan [2, 4, 8]

c) Matriks Kolom

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya,

d) Matriks Persegi atau Matriks Kuadrat

Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks kuadrat, jika jumlah baris pada matriks tersebut sama dengan jumlah kolomnya. Misalnya,

Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut.

Komponen-komponen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah a11, a22 dan a33 (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah). Sebaliknya, komponen-komponen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini a11, a22, a33.

e) Matriks Segitiga

Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen-elemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah

satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yang ada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya,

f) Matriks Diagonal

Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemen-elemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya,

g) Matriks Skalar

Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya

h) Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya,

Pembahasan Soal Matriks

soal 1

diketahui Matriks A = ${\begin{bmatrix} 2a& 4 &6\\ 8&10&b \\ 4c&5&12 \\\end{bmatrix}}$ dan B = ${\begin{bmatrix} 8& 4 &6\\ 8&10&4a \\ b&5&12 \\\end{bmatrix}}$ kalau A = B, maka c adalah ..

a. 3

b. 4

c. 5

d. 6

e. 7

penyelesaian:

A = B   maka ${\begin{bmatrix} 2a=8& 4=4 &6=6\\ 8=8&10=10&b=2a \\ 4c=b&5=5&12=12 \\\end{bmatrix}}$ 

2a = 8 ...pers i).

a= 8:2

a = 4

b = 4a ... pers ii).

b = 4.4

b = 16

4c = b ... pers iii).

4c = 16

c = 16 : 4

c = 4

soal 2.

jika A = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 4&5 \end{bmatrix}}$, B = ${\begin{bmatrix} 1&0\\ 3&4 \end{bmatrix}}$ dan C = ${\begin{bmatrix} -2&3\\ -1&4 \end{bmatrix}}$ maka (A + 2B) - (2B + 2C) adalah ...

a. ${\begin{bmatrix} 6&5\\ 2&-6 \end{bmatrix}}$

b. ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 6&-3 \end{bmatrix}}$

c. ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 6&13 \end{bmatrix}}$

d. ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 6&1 \end{bmatrix}}$

e. ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 2&-3 \end{bmatrix}}$

penyelesaian:

(A + 2B) - (2B + 2C) = A + 2B - 2B - 2C

(A + 2B) - (2B + 2C) = A - 2C

A - 2C = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 4&5 \end{bmatrix}}$ - 2${\begin{bmatrix} -2&3\\ -1&4 \end{bmatrix}}$

A - 2C = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 4&5 \end{bmatrix}}$ - ${\begin{bmatrix} -4&6\\ -2&8 \end{bmatrix}}$

A - 2C = ${\begin{bmatrix} 2-(-4)&1-6\\ 4-(-2)&5-8 \end{bmatrix}}$ 

A - 2C = ${\begin{bmatrix} 2+4&-5\\ 4+2&-3 \end{bmatrix}}$ 

A - 2C = ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 6&-3 \end{bmatrix}}$ 

soal 3

hasil kali $\begin{bmatrix} 1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \\ 5&6 \\ \end{bmatrix}$ adalah ....

a. ${\begin{bmatrix} 22&28\\ 49&64 \end{bmatrix}}$

b. ${\begin{bmatrix} 22&49\\ 28&64 \end{bmatrix}}$

c. $\begin{bmatrix} 1& 4& 6 \\ 4& 15& 30 \\ \end{bmatrix}$

d. $\begin{bmatrix} 2& 8& 18 \\ 4& 15& 30 \\ \end{bmatrix}$

e. $\begin{bmatrix} 2&4 \\ 8&15 \\ 17&30 \\ \end{bmatrix}$ 

penyelesaian:

$\begin{bmatrix} 1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \\ 5&6 \\ \end{bmatrix}$ = ${\begin{bmatrix} 1.1+2.3+3.5&1.2+2.4+3.6\\ 4.1+5.3+6.5&4.2+5.4+6.6 \end{bmatrix}}$

$\begin{bmatrix} 1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \\ 5&6 \\ \end{bmatrix}$ = ${\begin{bmatrix} 1+6+15&2+8+18\\ 4+15+30&8+20+36 \end{bmatrix}}$

$\begin{bmatrix} 1& 2& 3 \\ 4& 5& 6 \\ \end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 1&2 \\ 3&4 \\ 5&6 \\ \end{bmatrix}$ = ${\begin{bmatrix} 21&28\\ 49&64 \end{bmatrix}}$

soal 4

hasil kali ${\begin{bmatrix} 2&3\\ 4&5 \end{bmatrix}}$ dan I = ${\begin{bmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}$

1). AI = ${\begin{bmatrix} 2&3\\ 4&5 \end{bmatrix}}$ 

2). IA = ${\begin{bmatrix} 3&2\\ 5&4 \end{bmatrix}}$

3). I.I

4). AA = A

penyelesaian:

a. 1 dan 2 benar

b. 2 dan 3 benar

c. 4 dan 1 benar

d. 1 dan 4 benar

e. 1 dan 3 benar

penyelesaian:

AI = IA = A

I.I = I

A. A = ${\begin{bmatrix} 2&3\\ 4&5 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 2&3\\ 4&5 \end{bmatrix}}$ 

A.A = ${\begin{bmatrix} 2.2+3.4&2.3+3.5\\ 4.2+5.4&4.3+5.5 \end{bmatrix}}$ 

A.A = ${\begin{bmatrix} 4+12&6+15\\ 8+20&12+25 \end{bmatrix}}$

A.A = ${\begin{bmatrix} 16&21\\ 28&37 \end{bmatrix}}$

jadi, A.A ≠ A 

soal 5

${\begin{bmatrix} -1&d\\ -b&3 \end{bmatrix}}$ + ${\begin{bmatrix} 4&-5\\ -3&b \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} 2&-1\\ -4&3 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 2c&1\\ c&a+1 \end{bmatrix}}$ maka a = ...

a. -2

b. -4/3

c. 2/3

d. 2

e. -2/3

penyelesaian:

${\begin{bmatrix} -1&d\\ -b&3 \end{bmatrix}}$ + ${\begin{bmatrix} 4&-5\\ -3&b \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} 2&-1\\ -4&3 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 2c&1\\ c&a+1 \end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix} -1+4&d-5\\ -b-3&3+b \end{bmatrix}}$  = ${\begin{bmatrix} 2.2c+(-1).c&2.1+(-1)(a+1)\\ -4.2c+3.c&-4.1+3(a+1) \end{bmatrix}}$ 

${\begin{bmatrix} 3&d-5\\ -b-3&b+3 \end{bmatrix}}$  = ${\begin{bmatrix} 4c-1c&2-1a-1\\ -8c+3c&-4+3a+3 \end{bmatrix}}$ 

${\begin{bmatrix} 3&d-5\\ -b-3&b+3 \end{bmatrix}}$  = ${\begin{bmatrix} 3c&1-1a\\ -5c&-1+3a \end{bmatrix}}$ 

menentukan nilai c

3c = 3

c = 1

menentukan nilai b

-b - 3 = -5c

-b - 3 = -5(1)

-b - 3 = -5

-b = -5 + 3

-b = -2

b = 2

menentukan nilai a

b + 3 = 3a - 1

2 + 3 = 3a -1

5 + 1 = 3a

3a = 6

a = 6/3

a = 2 

soal 6

jika ${\begin{bmatrix} a&b\\ 3&-2 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 2&4 \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} 12&-27\\ 14&-23 \end{bmatrix}}$

a. a =1 dan b = 6

b. a =-3 dan b = 15

c. a =-2 dan b = 12

d. a = 3 dan b = -3

e. a = 2 dan b = 0

penyelesaian:

${\begin{bmatrix} a&b\\ 3&-2 \end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix} 6&-5\\ 2&4 \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} 12&-27\\ 14&-23 \end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix} 6a+2b&-5a+4b\\ 18-4&-15-8 \end{bmatrix}}$  = ${\begin{bmatrix} 12&-27\\ 14&-23 \end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix} 6a+2b&-5a+4b\\ 14&-23 \end{bmatrix}}$  = ${\begin{bmatrix} 12&-27\\ 14&-23 \end{bmatrix}}$

soal 7

jika: 2$\begin{bmatrix} -1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$ + 3$\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ + k$\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -4 \end{bmatrix}$ maka k adalah ....

a. -4

b. -2

c.2

d. 3

e. 4

penyelesaian:

$\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 12 \\ 0 \\ 9 \end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix} 2k \\ k \\ 3k \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2+12+2k \\ 1+0+k \\ 1+9+3k \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ -4 \end{bmatrix}$

menentukan nilai k:

-2+12+2k = 2

10 + 2k = 2

2k = 2 - 10

2k = -8

k = $\frac{-8}{2}$

k = -4

soal 8

jika diketahui matriks A = ${\begin{bmatrix} 1&-1\\ 2&-2 \end{bmatrix}}$ dan B = ${\begin{bmatrix} 1&1\\ 4&-2 \end{bmatrix}}$, maka (A + B)² sama dengan ....

a. ${\begin{bmatrix} 4&0\\ 6&9 \end{bmatrix}}$

b. ${\begin{bmatrix} 4&0\\ -12&16 \end{bmatrix}}$

c. ${\begin{bmatrix} -4&0\\ 6&9 \end{bmatrix}}$

d. ${\begin{bmatrix} 4&0\\ 6&-9 \end{bmatrix}}$

e. ${\begin{bmatrix} 4&0\\ -6&-9 \end{bmatrix}}$

penyelesaian:

(A + B) = ${\begin{bmatrix} 1&-1\\ 2&-2 \end{bmatrix}}$ + ${\begin{bmatrix} 1&1\\ 4&-2 \end{bmatrix}}$

(A + B) = ${\begin{bmatrix} 1+1&-1+1\\ 2+4&-2+(-2) \end{bmatrix}}$

(A + B) = ${\begin{bmatrix} 2&0\\ 6&-4 \end{bmatrix}}$

(A + B)² = ${\begin{bmatrix} 2&0\\ 6&-4 \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix} 2&0\\ 6&-4 \end{bmatrix}}$

(A + B)² = ${\begin{bmatrix} 4+0&0+0\\ 12-24&0+16 \end{bmatrix}}$

(A + B)² = ${\begin{bmatrix} 4&0\\ -12&16 \end{bmatrix}}$

Soal 9

jika A = ${\begin{bmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{bmatrix}}$ dan B = ${\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}}$ maka (A + B)(A - B) - (A - B)(A + B) sama dengan ...

a. ${\begin{bmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{bmatrix}}$

b. ${\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}$

c. 4${\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}$

d. 8${\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{bmatrix}}$

e. 16${\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}$

penyelesaian:

keterangan:

aturan perkalian matriks AB belum tentu sama dengan BA

(A + B)(A - B) - (A - B)(A + B) = A² -AB + BA - B² - (A² + AB - BA - B²)

(A + B)(A - B) - (A - B)(A + B) = A² -AB + BA - B² - A² - AB + BA + B²

(A + B)(A - B) - (A - B)(A + B) = -2AB + 2BA

maka:

-2AB + 2BA = -2${\begin{bmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{bmatrix}}$x${\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}}$+ 2${\begin{bmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{bmatrix}}$x${\begin{bmatrix} 1&1\\ -1&1 \end{bmatrix}}$

-2AB + 2BA = -2 ${\begin{bmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{bmatrix}}$ + 2${\begin{bmatrix} -1&1\\ 1&1 \end{bmatrix}}$

-2AB + 2BA =  ${\begin{bmatrix} -2&-2\\ -2&2 \end{bmatrix}}$ + ${\begin{bmatrix} -2&2\\ 2&2 \end{bmatrix}}$

-2AB + 2BA =  ${\begin{bmatrix} -2+(-2)&-2+(2)\\ -2+(2)&2+2 \end{bmatrix}}$ 

-2AB + 2BA = ${\begin{bmatrix} -4&0\\ 0&4 \end{bmatrix}}$

-2AB + 2BA = 4${\begin{bmatrix} -1&0\\ 0&1 \end{bmatrix}}$

soal 10.

ditentukan A = ${\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}}$ dan i = ${\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}}$ dan A² = pA + ql maka ....

a. p = 5; q = 2

b. p = 5; q = -2

c. p = -5; q = 2

d. p = 2; q = -5

e. p = 2; q = 5

penyelesaian:

${\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}}$ = p${\begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}}$ + q${\begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix} 1.1+2.3&1.2+2.4\\ 3.1+4.3&3.2+4.4 \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} p&2p\\ 3p&4p \end{bmatrix}}$ + ${\begin{bmatrix} q&0 \\ 0&q \end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix} 7&10\\ 17&22 \end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} p+q&2p\\ 3p&4pQ \end{bmatrix}}$ 

menentukan nilai p:

10 = 2p 

p = $\frac{10}{2}$

p = 5

menentukan nilai q:

p + q = 7

5 + q = 7

q = 7-5

q = 2

jadi, nilai p = 5 dan q = 2

artikel terkait tentang Matriks Matematika :

Next: 

Next: