Cara Menentukan Invers Matriks

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai invers matriks. sebelumnya kita sudah belajar belajar tentang pengertian matriks dan defenisinya . Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Pengertian Invers Matriks

sebelum kita masuk pada pokok materi Invers Matriks terlebih dahulu kita ulas kembali pengertian matriks dimana Invers Matriks merupakan salah satu operasi pada matriks. matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom. bilangan-bilangan yang disusun tersebut disebut elemen-elemen atau komponen-komponen matriks. nama sebuah matriks dinyatakan dengan huruf kapital. banyak baris dan banyak kolom dari suatu matriks disebut ordo matriks atau ukuran matriks.

Perhatikan Contoh Matriks:

Ordo Matriks A(2 x 2) 

komponen-komponen Ordo Matriks A(2 x 2) terdiri dari dua baris dan dua kolom:

baris pertama = [a, b]

baris kedua = [c, d]

kolom pertama = [a, c]

kolom kedua = [b, d]

Ordo Matriks A(3 x 3) 

komponen-komponen Ordo Matriks A(3 x 3) terdiri dari tiga baris dan tiga kolom:

baris pertama = [a, b, c]

baris kedua = [d, e, f]

baris ketiga = [g, h, i]

kolom pertama = [a, d, g]

kolom kedua = [b, e, h]

kolom ketiga = [c, f, i]

jadi,  matriks adalah kebalikan (invers) dari sebuah matriks yang apabila matriks tersebut dikalikan dengan inversnya, akan menjadi matriks identitas. Invers matriks dilambangkan dengan A⁻¹. Suatu matriks dikatakan memiliki invers jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol.

Jenis-Jenis Matriks

Jenis-Jenis Matriks terbagi atas empat bagian:

i). Matriks Nol (0)

Matriks Nol adalah matriks yang sama semua elemennya bernilai nol.

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  0&0\\ 0&0   \end{bmatrix}}$

ii). Matriks Bujur Sangkar 

Matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  1&2\\ 2&4   \end{bmatrix}}$ keterangan: (ordo 2 x 2)

B = ${\begin{bmatrix} 1& 3 &2\\ 2&3&4 \\ 5&6&7 \\\end{bmatrix}}$ keterangan: (ordo 3 x 3)

iii). Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah matris bujur sangkar yang sama semua elemennya di luar elemen diagonal utamanya bernilai nol.

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  1&0\\ 0&3  \end{bmatrix}}$

B= ${\begin{bmatrix} 1& 0 &0\\ 0&2&0 \\ 0&0&3 \\\end{bmatrix}}$

iv). Matriks Skalar 

Matriks Skalar adalah Matriks diagonal yang elemen-elemennya pada diagonal utamanya bernilai sama.

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  2&0\\ 0&2   \end{bmatrix}}$

B= ${\begin{bmatrix} 4& 0 &0\\ 0&4&0 \\ 0&0&4 \\\end{bmatrix}}$

v). Matriks Identitas (I)

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai satu

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  1&0\\ 0&1  \end{bmatrix}}$

B= ${\begin{bmatrix} 1& 0 &0\\ 0&1&0 \\ 0&0&1\\\end{bmatrix}}$

vi). Matriks Segitiga Atas 

Matriks Segitiga Atas adalah Matriks bujursangkar yang elemen-elemennya dibawah diagonal utamanya bernilai nol.

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  1&2\\ 0&3  \end{bmatrix}}$

B= ${\begin{bmatrix} 1& 3 &2\\ 0&3&4 \\ 0&0&7 \\\end{bmatrix}}$

vii). Matriks Segitiga Bawah

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemennya diatas diagonal utamanya bernilai nol.

contoh soal:

A = ${\begin{bmatrix}  2&0\\ 1&3  \end{bmatrix}}$

B= ${\begin{bmatrix} 1& 0 &0\\ 2&3&0 \\ 2&3&7 \\\end{bmatrix}}$

Menentukan Invers Matriks Ordo dua kali dua (2 x 2)

Invers Matriks merupakan bagian dari salah satu operasi matriks. Operasi Matriks terbagi atas beberapa bagian yaitu: penjumlahan dan pengurangan dua matriks, perkalian skalar matriks, perkalian dua matriks, transpos matriks, determinan matriks, dan invers matriks. nah, materi kali ini kita akan membahas tuntas tentang invers matriks. matriks yang tidak singuler mempunyai invers. Invers Matriks A dinotasikan dengan A⁻¹ dan secara umum dirumuskan dengan:

Rumus Invers Matriks ordo (2x2)

secara umum rumus invers matriks dengan:
A⁻¹ = $\frac{1}{\left| A\right|}$(adjoint A)
invers Matriks (2x2) misalnya:
jika matriks A = ${\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}}$
memiliki dua buah diagonal yaitu:
diagonal utama = [a, d]
diagonal sekunder = [b, c]
maka invers matriks A adalah:

A⁻¹ = $\frac{1}{ad - bc}$${\begin{bmatrix} d&-c\\ -b&a \end{bmatrix}}$

setelah invers matriks A dinotasikan A⁻¹:
diagonal utama berpindah posisi dari [a, d] menjadi [d,a]
diagonal sekunder bernilai negatif dari [b, c] menjadi [-b,-c]

soal 1

tentukan invers dari matriks P = ${\begin{bmatrix}  2&5\\ 1&3  \end{bmatrix}}$

penyelesaian:

P⁻¹ = $\frac{1}{ad - bc}$${\begin{bmatrix}  d&-c\\ -b&a  \end{bmatrix}}$

P⁻¹ = $\frac{1}{2.3 - 5.1}$${\begin{bmatrix}  3&-5\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

P⁻¹ = $\frac{1}{6 - 5}$${\begin{bmatrix}  3&-5\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

P⁻¹ = $\frac{1}{1}$${\begin{bmatrix}  3&-5\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

P⁻¹ = ${\begin{bmatrix}  3&-5\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

jadi, invers dari matriks p = ${\begin{bmatrix}  3&-5\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

soal 2

tentukan invers dari matriks A = ${\begin{bmatrix}  2&-3\\ -2&4  \end{bmatrix}}$

penyelesaian:

A⁻¹ = $\frac{1}{ad - bc}$${\begin{bmatrix}  d&-c\\ -b&a  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = $\frac{1}{2.4 - (-3)(-2)}$${\begin{bmatrix}  4&3\\ 2&2  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = $\frac{1}{8 - 6}$${\begin{bmatrix}  4&3\\ 2&2  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = $\frac{1}{2}$${\begin{bmatrix}  4&3\\ 2&2  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = ${\begin{bmatrix}  4\frac{1}{2}&3\frac{1}{2}\\ 2\frac{1}{2}&2\frac{1}{2}  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = ${\begin{bmatrix}  2&\frac{3}{2}\\ 1&1  \end{bmatrix}}$

jadi invers dari matriks A dinotsikan A⁻¹ = ${\begin{bmatrix}  2&\frac{3}{2}\\ 1&1  \end{bmatrix}}$

B= ${\begin{bmatrix} 1& 0 &0\\ 2&3&0 \\ 2&3&7 \\\end{bmatrix}}$

Menentukan Invers Matriks Ordo tiga kali tiga (3 x 3)

Mencari invers matriks berordo 3x3 dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan adjoin dan transformasi baris elementer.

Adjoin matriks merupakan transpose dari suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen-elemen matriks tersebut.  

langkah-langkah invers matriks berordo 3x3 menjadi:

i). bentuk matriks (AnǀIn), dengan In merupakan matriks identitas berordo n.

ii). transformasikan matriks (AnǀIn), kebentuk (AnǀBn) menggunakan dengan cara: 

- menukar suatu baris dengan baris lain

- menjumlahkan atau mengurangkan suatu baris dengan baris lain

- menjumlahkan atau mengurangkan suatu baris dengan baris lain

-mengalikan atau membagi suatu baris dengan bilangan skalar k (k≠0)

iii). berdasarkan hasil pada langkah 2, diperoleh invers matriks An adalah Bn

matriks orde (3x3):

${\begin{bmatrix} a₁,₁& a₁,₂ &a₁,₃\\ a₂,₁&a₂,₂&a₂,₃ \\ a₃,₁&a₃,₂&a₃,₃ \\\end{bmatrix}}$

keterangan:

a₁,₁ artinya nilai a berada pada baris pertama dan kolom pertama

a₁,₂ artinya nilai a berada pada baris pertama dan kolom kedua

a₁,₃ artinya nilai a berada pada baris pertama dan kolom ketiga

a₂,₁ artinya nilai a berada pada baris kedua dan kolom pertama

a₂,₂ artinya nilai a berada pada baris kedua dan kolom kedua

a₂,₃ artinya nilai a berada pada baris kedua dan kolom ketiga

a₃,₁ artinya nilai a berada pada baris ketiga dan kolom pertama

a₃,₂ artinya nilai a berada pada baris ketiga dan kolom kedua

a₃,₃ artinya nilai a berada pada baris ketiga dan kolom ketiga

soal 1

tentukan invers matriks dari A = ${\begin{bmatrix} 2& 1 &2\\ 4&2&1 \\ 2&3&2 \\\end{bmatrix}}$

penyelesaian:

menentukan invers matriks dari A menggunakan rumus adjoint dengan rumus:

A⁻¹ = $\frac{1}{\left| A\right|}$(adjoint A)

langkah-langkah menentukan invers dari A atau dinotasikan A⁻¹

langkah pertama:

tentukan determinan A dinotasikan $\left| A\right|$

$\left| A\right|$ = $\begin{vmatrix} 2&  1& 2 \\ 4&  2&  1\\ 2&  3&  2\\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} 2&  1\\ 4&  2\\ 2&  3\\\end{matrix}$

$\left| A\right|$ = 2.2.2 + 1.1.2 + 2.4.3 - 2. 2. 2 - 3. 1. 2 - 2. 4. 1

$\left| A\right|$ = 8 + 2 + 24 - 8 - 6 - 8

$\left| A\right|$ = 34 - 22

$\left| A\right|$ = 12

langkah kedua menentukan adjoint A

nilai a₁,₁ yaitu:

maka +a₁,₁ = ${\begin{bmatrix}  2&1\\ 3&2  \end{bmatrix}}$

determinan a₁,₁ = 2.2 - 3.1

determinan a₁,₁ = 4 - 3

determinan a₁,₁ = 1

nilai a₁,₂ yaitu:

maka -a₁,₂ = -.${\begin{bmatrix}  4&1\\ 2&2  \end{bmatrix}}$

determinan -a₁,₂ = -.(4.2 - 2.1)

determinan -a₁,₂ = -(8 - 2)

determinan -a₁,₂ = -6

nilai a₁,₃ yaitu:

maka +a₁,₃ =.${\begin{bmatrix}  4&2\\ 2&3  \end{bmatrix}}$

determinan a₁,₃ = 4.3 - 2.2

determinan a₁,₃ = 12 - 4

determinan a₁,₃ = 8

nilai a₂,₁ yaitu:

maka -a₂,₁ =-.${\begin{bmatrix}  1&2\\ 3&2  \end{bmatrix}}$

determinan -a₂,₁ = -.(1.2 - 3.2)

determinan -a₂,₁ = -(2 - 6)

determinan -a₂,₁ = 4

nilai a₂,₂ yaitu:

maka +a₂,₂ =${\begin{bmatrix}  2&2\\ 2&2  \end{bmatrix}}$

determinan a₂,₂ = (2.2 - 2.2)

determinan a₂,₂ = (4 - 4)

determinan a₂,₂ = 0

nilai a₂,₃ yaitu:

maka -a₂,₃ =-.${\begin{bmatrix}  2&1\\ 2&3  \end{bmatrix}}$

determinan -a₂,₃ = -(2.3 - 1.2)

determinan -a₂,₃ = -(6 - 2)

determinan -a₂,₃ = -4

nilai a₃,₁ yaitu:

maka a₃,₁ =${\begin{bmatrix}  1&2\\ 3&2  \end{bmatrix}}$

determinan a₃,₁ = (1.2 - 2.3)

determinan a₃,₁ = (2 - 6)

determinan a₃,₁ = -4

nilai a₃,₂ yaitu:

maka -a₃,₂ =-.${\begin{bmatrix}  2&2\\ 4&1  \end{bmatrix}}$

determinan -a₃,₂ = -.(2.1 - 4.2)

determinan -a₃,₂ = -.(2 - 8)

determinan -a₃,₂ = 6

nilai a₃,₃ yaitu:

maka a₃,₃ = ${\begin{bmatrix}  2&1\\ 4&2  \end{bmatrix}}$

determinan a₃,₃ = (2.2 - 4.1)

determinan a₃,₃ = (4 - 4)

determinan a₃,₃ = 0

konversi nilai determinan diatas ${\begin{bmatrix} (+)a₁,₁& (-)a₁,₂ &(+)a₁,₃\\ (-)a₂,₁&(+)a₂,₂&(-)a₂,₃ \\ (+)a₃,₁&(-)a₃,₂&(+)a₃,₃ \\\end{bmatrix}}$ = ${\begin{bmatrix} 1& -6 &8\\ 4&0&-4 \\ -4&6&0 \\\end{bmatrix}}$ 

jadi, nilai adjoint A = ${\begin{bmatrix} 1& 4 &-4\\ -6&0&6 \\ 8&-4&0 \\\end{bmatrix}}$ 

cara mendapatkan nilai Adjoint A:

keterangan: (untuk mendapatkan Adjoint A mengubah baris menjadi kolom)

langkah ketiga menentukan invers A:

A⁻¹ = $\frac{1}{\left| A\right|}$(adjoint A)

A⁻¹ =$\frac{1}{12}$${\begin{bmatrix} 1& 4 &-4\\ -6&0&6 \\ 8&-4&0 \\\end{bmatrix}}$

A⁻¹ = ${\begin{bmatrix} 1.\frac{1}{12}& 4.\frac{1}{12} &-4.\frac{1}{12}\\ -6.\frac{1}{12}&0.\frac{1}{12}&6.\frac{1}{12} \\ 8.\frac{1}{12}&-4.\frac{1}{12}&0.\frac{1}{12} \\\end{bmatrix}}$

A⁻¹ = ${\begin{bmatrix} \frac{1}{12}& \frac{1}{3} &-\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\\ \frac{2}{3}&-\frac{1}{3}&0 \\\end{bmatrix}}$

Sifat-Sifat Invers Matriks

matriks A dikatakan singuler jika determinan A dinotasikan ǀAǀ = 0 artinya matriks A tidak mempunyai invers. matriks A dikatakan non singuler jika ǀAǀ tidak sama dengan  nol (ǀAǀ ≠ 0) artinya A mempunyai invers. 

Sifat-Sifat Invers Matriks

i).  (A⁻¹)⁻¹ = A
ii). A.A⁻¹ =A⁻¹.A = I
iii) A = A.I = A
iv). (AB)⁻¹ = B⁻¹.A⁻¹

soal 1

diketahui matriks A = ${\begin{bmatrix}  2&4\\ 1&3  \end{bmatrix}}$ buktikanlah bahwa A.A⁻¹ =A⁻¹.A = I

penyelesaian:

tentukanlah invers matriks dari A:

A⁻¹ = $\frac{1}{ad - bc}$${\begin{bmatrix}  d&-c\\ -b&a  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = $\frac{1}{2.3 - 4.1}$${\begin{bmatrix}  3&-4\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = $\frac{1}{6 - 4}$${\begin{bmatrix}  3&-4\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = $\frac{1}{2}$${\begin{bmatrix}  3&-4\\ -1&2  \end{bmatrix}}$

A⁻¹ = ${\begin{bmatrix}  \frac{3}{2}&-2\\ -\frac{1}{2}&1  \end{bmatrix}}$

pembuktian: A.A⁻¹ =A⁻¹.A = I

A⁻¹.A =${\begin{bmatrix}  \frac{3}{2}&-2\\ -\frac{1}{2}&1  \end{bmatrix}}$ ${\begin{bmatrix}  2&4\\ 1&3  \end{bmatrix}}$

 A⁻¹.A = ${\begin{bmatrix}  \frac{3}{2}.2+(-2.1)&\frac{3}{2}.4+(-2.3)\\ -\frac{1}{2}.2+1.1&-\frac{1}{2}.4+1.3  \end{bmatrix}}$

 A⁻¹.A = ${\begin{bmatrix}  3-2&6-6\\ -1+1&-2+3  \end{bmatrix}}$

 A⁻¹.A = ${\begin{bmatrix}  1&0\\ 0&1  \end{bmatrix}}$

terbukti bahwa : A.A⁻¹ =A⁻¹.A = I

Penutup

Demikian penjelasan tentang cara menentukan invers matriks, invers matriks merupakan bagian dari aljabar matematika mulai dari pengertian, unsur, hingga operasi hitungnya. materi invers matriks ini penting untuk dipelajari terutama bagi siswa yang bercita-cita ingin menekuni bidang eksat  atau keperguruan tinggi karena akan ada banyak materi yang menerapkan aljabar.

artikel terkait tentang Matriks Matematika :

Next: 

Next: