Metode Minor Kofaktor (Matriks Ordo 3 x 3)

Secara umum Metode Sarrus hanya dapat digunakan untuk matriks 3x3. cara menentukan determinan suatu matriks dengan ukuran Matriks Ordo 3 x 3 ada dua cara yaitu metode Sarrus dan Metode Kofaktor. pada artikel ini kita akan menentukan determinan matriks segi adalah dengan minor-kofaktor elemen matriks tersebut.

Pengertian Metode Minor Kofaktor

Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor $a_{ij}$ dinyatakan oleh $X_{ij}$ adalah submatriks A yang didapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke – j. Kofaktor $a_{ij}$ dinyatakan oleh $X_{ij}$ didefinisikan sebagai: $X_{ij}$ = $(-1)^{i+j}$ $a_{ij}$. Determinan suatu matriks kuadrat A dapat juga dihitung dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris/kolom. 

Matriks Orde (3x3):

${\begin{bmatrix} a₁,₁& a₁,₂ &a₁,₃\\ a₂,₁&a₂,₂&a₂,₃ \\ a₃,₁&a₃,₂&a₃,₃ \\\end{bmatrix}}$

keterangan:

• a₁,₁ artinya nilai a berada pada baris pertama dan kolom pertama
• a₁,₂ artinya nilai a berada pada baris pertama dan kolom kedua
• a₁,₃ artinya nilai a berada pada baris pertama dan kolom ketiga
• a₂,₁ artinya nilai a berada pada baris kedua dan kolom pertama
• a₂,₂ artinya nilai a berada pada baris kedua dan kolom kedua
• a₂,₃ artinya nilai a berada pada baris kedua dan kolom ketiga
• a₃,₁ artinya nilai a berada pada baris ketiga dan kolom pertama
• a₃,₂ artinya nilai a berada pada baris ketiga dan kolom kedua
• a₃,₃ artinya nilai a berada pada baris ketiga dan kolom ketiga

Langkah-Langkah Menentukan Metode Minor Kofaktor

ada beberapa langkah-langkah menentukan Metode Minor Kofaktor yaitu:

misalkan suatu matriks A adalah ${\begin{bmatrix} a₁,₁& a₁,₂ &a₁,₃\\ a₂,₁&a₂,₂&a₂,₃ \\ a₃,₁&a₃,₂&a₃,₃ \\\end{bmatrix}}$ maka determinan Matriks A.

Tahap 1 tentukan Nilai X₁,₁

Cara Menentukan Nilai X₁,₁

menentukan nilai matriks A₁,₁ perhatikan gambar dibawah ini:

matriks A₁,₁ = ${\begin{bmatrix}  a₂,₂&a₂,₃ \\ a₃,₂&a₃,₃ \end{bmatrix}}$

sehingga nilai:

X₁,₁ = $(-1)^{1+1}$. det (A₁,₁)

X₁,₁ = $(-1)^{2}$. (a₂,₂. a₃,₃ - a₂,₃. a₃,₂)

X₁,₁ = (a₂,₂. a₃,₃ - a₂,₃. a₃,₂)

Tahap 2 tentukan Nilai X₁,₂

Cara Menentukan Nilai X₁,₂

menentukan nilai matriks A₁,₂ perhatikan gambar dibawah ini:

matriks A₁,₂ = ${\begin{bmatrix}  a₂,₁&a₂,₃ \\ a₃,₁&a₃,₃ \end{bmatrix}}$

sehingga nilai:

X₁,₂ = $(-1)^{1+2}$. det (A₁,₂)

X₁,₂ = $(-1)^{3}$. (a₂,₁. a₃,₃ - a₂,₃. a₃,₁)

X₁,₂ = (-1).(a₂,₁. a₃,₃ - a₂,₃. a₃,₁)

Tahap 3 tentukan Nilai X₁,₃

Cara Menentukan Nilai X₁,₃

menentukan nilai matriks A₁,₃ perhatikan gambar dibawah ini:

matriks A₁,₃ = ${\begin{bmatrix}  a₂,₁&a₂,₂ \\ a₃,₁&a₃,₂ \end{bmatrix}}$

sehingga nilai:

X₁,₃ = $(-1)^{1+3}$. det (A₁,₃)

X₁,₃ = $(-1)^{4}$. (a₂,₁. a₃,₂ - a₂,₂. a₃,₁)

X₁,₃ = (a₂,₁. a₃,₂ - a₂,₂. a₃,₁)

Metode Minor Kofaktor

matriks A adalah ${\begin{bmatrix} a₁,₁& a₁,₂ &a₁,₃\\ a₂,₁&a₂,₂&a₂,₃ \\ a₃,₁&a₃,₂&a₃,₃ \\\end{bmatrix}}$ maka determinan Matriks A.

det A = (a₁,₁)(X₁,₁) + (a₁,₂)(X₁,₂) + (a₁,₂)(X₃,₃) 

Pembahasan Soal Metode Minor Kofaktor

Soal 1

diketahui Matriks A = ${\begin{bmatrix} 3&4 &1\\ 2&-2&5 \\ 3&2&2 \\\end{bmatrix}}$ tentukan determinan matriks A....?.
Penyelesaian:
Cara Menentukan Nilai X₁,₁
nilai a₁,₁ = 3 dan matriks A₁,₁ = ${\begin{bmatrix} -2&5\\ 2&2 \end{bmatrix}}$ sehingga nilai:
X₁,₁ = $(-1)^{1+1}$. det (A₁,₁)
X₁,₁ = $(-1)^{2}$. (-2. 2 - 2. 5)
X₁,₁ = (-4 - 10)
X₁,₁ = -14
Cara Menentukan Nilai X₁,₂
nilai a₁,₂ = 4 dan matriks A₁,₂ = ${\begin{bmatrix} 2&5\\ 3&2 \end{bmatrix}}$ sehingga nilai:
X₁,₂ = $(-1)^{1+2}$. det (A₁,₂)
X₁,₂ = $(-1)^{3}$. (2.2 - 3. 5)
X₁,₂ = (-1) (4 - 15)
X₁,₂ = (-1) (-11)
X₁,₂ = 11
Cara Menentukan Nilai X₁,₃
nilai a₁,₃ = 1 dan matriks A₁,₃ = ${\begin{bmatrix} 2&-2\\ 3&2 \end{bmatrix}}$ sehingga nilai:
X₁,₃ = $(-1)^{1+3}$. det (A₁,₃)
X₁,₃ = $(-1)^{4}$. (2.2 - (-2). 3)
X₁,₃ = (4 + 6)
X₁,₃ = 10
det A = (a₁,₁)(X₁,₁) + (a₁,₂)(X₁,₂) + (a₁,₂)(X₃,₃)
det A = (3)(-14) + 4(11) + (1)(10)
det A = -42 + 44 + 10
det A = 12