Cara Menghitung Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Matriks

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai Cara Menghitung  Sistem Persemaan Linear Tiga Variabel Dengan Metode Matriks. sebelumnya kita sudah belajar belajar tentang bagaimana cara menghitung sistem persamaan linear dua variabel dengan metode determinan matriks dan invers matriks. Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Menghitung  Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Matriks

Materi tentang matriks merupakan materi baru bagi kalian. Pembahasan tentang matriks ini sangat diperlukan untuk mempelajari materi lain dalam matematika, antara lain determinan, vektor, dan transformasi geometri. Matriks merupakan salah satu cara untuk mempermudah penyelesaian sistem persamaan linear. Dalam kehidupan sehari-hari, matriks sangat membantu dalam mencatat hal-hal yang berhubungan dengan jajaran bilangan. Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan tiga variabel.

Metode determinan dapat pula digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel. Perhatikan uraian berikut. Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁ .................pers 1)

a₂x + b₂y + c₂z = d₂ .................pers 2)

a₃x + b₃y + c₃z = d₃ .................pers 3)

Maka Metode Determinan Matriks Yaitu:

${\begin{bmatrix} a₁& b₁ &c₁\\ a₂&b₂&c₂ \\ a₃&b₃&c₃ \\\end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} d₁\\d₂\\d₃ \end{bmatrix}$ 

Dengan melakukan cara yang sama seperti pada sistem persamaan linear dua variabel, diperoleh penyelesaian sebagai berikut. untuk menentukan himpunan penyelesaian dari tiga varibael dengan metode matriks perhatikan langkah-langkahnya sebagai berikut:

Tahap 1

Menentukan Nilai Diskriminan

determinan dari matriks koefisien x, y, dan z.
${\begin{bmatrix} a₁& b₁ &c₁\\ a₂&b₂&c₂ \\ a₃&b₃&c₃ \\\end{bmatrix}}$
D = $\begin{vmatrix} a₁& b₁ &c₁\\ a₂&b₂&c₂ \\ a₃&b₃&c₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} a₁& b₁\\ a₂&b₂ \\ a₃&b₃ \\ \end{matrix}$
keterangan: D merupakan nilai determinan
D = a₁.b₂.c₃ + b₁.c₂.a₃ + c₁.a₂.b₃ - (c₁.b₂.a₃ + a₁.c₂.b₃ + b₁.a₂.c₃)

Tahap 2

Menentukan Nilai X

determinan dari matriks koefisien x, y, dan z yang kolom pertamanya diganti dengan konstanta d₁, d₂, d₃ yaitu
${\begin{bmatrix} d₁& b₁ &c₁\\ d₂&b₂&c₂ \\ d₃&b₃&c₃ \\\end{bmatrix}}$
Dₓ= $\begin{vmatrix} d₁& b₁ &c₁\\ d₂&b₂&c₂ \\ d₃&b₃&c₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} d₁& b₁\\ d₂&b₂ \\ d₃&b₃ \\ \end{matrix}$
keterangan: Dₓ merupakan nilai determinan
Dₓ= d₁.b₂.c₃ + b₁.c₂.d₃ + c₁.d₂.b₃ - (c₁.b₂.d₃ + d₁.c₂.b₃ + b₁.d₂.c₃)
x = $\frac{Dₓ}{D}$
jadi, nilai x = $\frac{Dₓ}{D}$

Tahap 3

Menentukan Nilai Y

determinan dari matriks koefisien x, y, dan z yang kolom keduanya diganti dengan konstanta d₁, d₂, d₃ yaitu
${\begin{bmatrix} a₁& d₁ &c₁\\ a₂&d₂&c₂ \\ a₃&d₃&c₃ \\\end{bmatrix}}$
Dᵧ= $\begin{vmatrix} a₁& d₁ &c₁\\ a₂&d₂&c₂ \\ a₃&d₃&c₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} a₁& d₁\\ a₂&d₂ \\ a₃&d₃ \\ \end{matrix}$
keterangan: Dᵧ merupakan nilai determinan
Dᵧ= a₁.d₂.c₃ + d₁.c₂.a₃ + c₁.a₂.d₃ - (c₁.d₂.a₃ + a₁.c₂.d₃ + d₁.a₂.c₃)
Y = $\frac{D_y}{D}$
jadi, nilai Y = $\frac{D_y}{D}$

Tahap 4

Menentukan Nilai Z

determinan dari matriks koefi sien x, y, dan z yang kolom ketiganya diganti dengan konstanta d₁, d₂, d₃ yaitu:
${\begin{bmatrix} a₁& b₁ &d₁\\ a₂&b₂&d₂ \\ a₃&b₃&d₃ \\\end{bmatrix}}$
$D_z$= $\begin{vmatrix} a₁& b₁ &d₁\\ a₂&b₂&d₂ \\ a₃&b₃&d₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} a₁& b₁\\ a₂&b₂ \\ a₃&b₃ \\ \end{matrix}$
keterangan: Dᵧ merupakan nilai determinan
$D_z$ = a₁.b₂.d₃ + b₁.d₂.a₃ + d₁.a₂.b₃ - (d₁.b₂.a₃ + a₁.d₂.b₃ + b₁.a₂.d₃)
Z = $\frac{D_z}{D}$
jadi, nilai Z = $\frac{D_z}{D}$

Pembahasan Soal 

Contoh Soal 1:

Tika, Rani, dan Dian berbelanja keperluan sekolah di took yang sama. Tika membeli dua buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp. 8.000,-. Rani membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp. 6.000,-. Dian membeli tiga buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 9.000,-. Tentukan harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penggaris.

penyelesaian:

Membuat Tabel pada Soal Cerita Diatas:

Nama	Buku Tulis	Pensil	Penggaris	total
Tika	2 buah	2 buah	1 buah	8.000
Rani	1 buah	2 buah	1 buah	6.000
Dian	3 buah	1 buah	1 buah	9.000

Membuat model matematika pada sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

misalkan: 

buku tulis = x ; Pensil = y; dan penggaris = z

d₁ = total harga dibeli Tika; 

d₂ = total harga dibeli Rani; 

d₃ = total harga dibeli Dian

2x + 2y + 1z = 8.000 .................pers 1)

1x + 2y + 1z = 6.000 .................pers 2)

3x + 1y + 1z = 9.000 .................pers 3)

maka metode determinan pada persamaan linear tiga variabel yaitu:

${\begin{bmatrix} 2& 2 &1 \\ 1&2&1 \\ 3&1&1 \\\end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} 8000\\6000\\9000 \end{bmatrix}$  

Langkah-Langkah Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel:

Tahap 1

Menentukan Nilai Diskriminan

determinan dari matriks koefisien x, y, dan z.
${\begin{bmatrix} 2& 2 &1\\ 1&2&1 \\ 3&1&1 \\\end{bmatrix}}$
D = $\begin{vmatrix} 2&2&1 \\ 1&2&1 \\ 3&1&1 \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} 2&2 \\ 1&2 \\ 3&1 \\\end{matrix}$
keterangan: D merupakan nilai determinan
D = 2.2.1 + 2.1.3 + 1.1.1 - (1.2.3 + 2.1.1 + 2.1.1)
D= 4 + 6 + 1 - (6 + 2 + 2)
D = 11 - 10
D = 1

Tahap 2

Menentukan Nilai X

determinan dari matriks koefisien x, y, dan z yang kolom pertamanya diganti dengan konstanta d₁, d₂, d₃ yaitu
${\begin{bmatrix} d₁& b₁ &c₁\\ d₂&b₂&c₂ \\ d₃&b₃&c₃ \\\end{bmatrix}}$
${\begin{bmatrix} 8000& 2 &1\\ 6000&2&1 \\ 9000&1&1 \\\end{bmatrix}}$
Dₓ= $\begin{vmatrix} d₁& b₁ &c₁\\ d₂&b₂&c₂ \\ d₃&b₃&c₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} d₁& b₁\\ d₂&b₂ \\ d₃&b₃ \\ \end{matrix}$
Dₓ= $\begin{vmatrix} 8000& 2 &1\\ 6000&2&1 \\ 9000&1&1 \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} 8000& 2\\ 6000&2 \\ 9000&1 \\ \end{matrix}$
keterangan: Dₓ merupakan nilai determinan
Dₓ= d₁.b₂.c₃ + c₁.d₂.b₃ - (c₁.b₂.d₃ + d₁.c₂.b₃ + b₁.d₂.c₃)
Dₓ= 8000.2.1 + 2.1.9000 + 1.6000.1 - (1.2.9000 + 8000.1.1 + 2.6000.1)
Dₓ= 16000 + 18000 + 6000 - (18000+ 8000 + 12000)
Dₓ= 16000 + 6000 - (8000 + 12000)
Dₓ= 22000 - 20000
Dₓ= 2000
x = $\frac{Dₓ}{D}$
x = $\frac{2000}{1}$
jadi, nilai x = 2000

Tahap 3

Menentukan Nilai Y

determinan dari matriks koefisien x, y, dan z yang kolom keduanya diganti dengan konstanta d₁, d₂, d₃ yaitu
${\begin{bmatrix} a₁& d₁ &c₁\\ a₂&d₂&c₂ \\ a₃&d₃&c₃ \\\end{bmatrix}}$
${\begin{bmatrix} 2& 8000 &1\\ 1&6000&1 \\ 3&9000&1 \\\end{bmatrix}}$
Dᵧ= $\begin{vmatrix} a₁& d₁ &c₁\\ a₂&d₂&c₂ \\ a₃&d₃&c₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} a₁& d₁\\ a₂&d₂ \\ a₃&d₃ \\\end{matrix}$
Dᵧ= $\begin{vmatrix} 2& 8000 &1\\ 1&6000&1 \\ 3&9000&1 \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} 2& 8000\\ 1&6000 \\ 3&9000 \\\end{matrix}$
keterangan: Dᵧ merupakan nilai determinan
Dᵧ= a₁.d₂.c₃ + d₁.c₂.a₃ + c₁.a₂.d₃ - (c₁.d₂.a₃ + a₁.c₂.d₃ + d₁.a₂.c₃)
Dᵧ= 2.6000.1 + 8000.1.3 + 1.1.9000 - (1.6000.3 + 2.1.9000 + 8000.1.1)
Dᵧ= 12000 + 24000 + 9000 - (18000 + 18000 + 8000)
Dᵧ= 45000 - 44000
Dᵧ= 1000
Y = $\frac{Dᵧ}{D}$
Y = $\frac{1000}{1}$
jadi, nilai Y = 1000

Tahap 4

Menentukan Nilai Z

determinan dari matriks koefi sien x, y, dan z yang kolom ketiganya diganti dengan konstanta d₁, d₂, d₃ yaitu:
${\begin{bmatrix} a₁& b₁ &d₁\\ a₂&b₂&d₂ \\ a₃&b₃&d₃ \\\end{bmatrix}}$
${\begin{bmatrix} 2& 2 &8000\\ 1&2&6000 \\ 3&1&9000 \\\end{bmatrix}}$
$D_z$= $\begin{vmatrix} a₁& b₁ &d₁\\ a₂&b₂&d₂ \\ a₃&b₃&d₃ \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} a₁& b₁\\ a₂&b₂ \\ a₃&b₃ \\ \end{matrix}$
$D_z$= $\begin{vmatrix} 2& 2 &8000\\ 1&2&6000 \\ 3&1&9000 \\\end{vmatrix}$ $\begin{matrix} 2& 2 \\ 1&2 \\ 3&1 \\\end{matrix}$
keterangan: Dᵧ merupakan nilai determinan
$D_z$ = a₁.b₂.d₃ + b₁.d₂.a₃ + d₁.a₂.b₃ - (d₁.b₂.a₃ + a₁.d₂.b₃ + b₁.a₂.d₃)
$D_z$ = 2.2.9000 + 2.6000.3 + 8000.1.1 - (8000.2.3 + 2.6000.1 + 2.1.9000)
$D_z$ = 36000 + 36000 + 8000 - (48000 + 12000 + 18000)
$D_z$ = 80000 - 78000
Z = $\frac{D_z}{D}$
Z = $\frac{2000}{1}$
jadi, nilai Z = 2000

Referensi Soal