Penerapan Matriks Pada Sistem Persemaan Linear Dua Variabel

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai Penerapan Matriks Pada Sistem Persemaan Linear Dua Variabel. sebelumnya kita sudah belajar belajar tentang invers matriks dan determinan matriks. Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Pengertian Penerapan Matriks Pada Sistim Persemaan Linear Dua Variabel

Penerapan matriks dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas, baik di bidang ekonomi, ilmu-ilmu sosial, maupun ilmuilmu alam. Dengan menggunakan matriks, penyelesaian sistem persamaan linear menjadi lebih mudah, khususnya untuk sistem persamaan linear dengan dua variabel.

Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3 buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan 5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah buku Rp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masing-masing

siswa tersebut? Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut.

Penyelesaian dari permasalahan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan aljabar biasa atau menggunakan matriks. Dalam hal ini, permasalahan tersebut akan diselesaikan menggunakan matriks, sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari.

Langkah pertama adalah menuliskan model dari masalah tersebut menjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh:

• Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera (dinyatakan oleh matriks P), yaitu

• Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu:

Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakan banyak nya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dan kolom pertama matriks Q menyatakan harga bolpoin. Dengan demikian, untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki adalah dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P dengan elemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, (3)(1.000). Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriks P dengan elemen baris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini (2)(2.500). Harga belanjaan yang dibayar Riki adalah penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu (3)(1.000) + (2)(2.500) = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan Riki Rp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera?

Dari uraian tersebut, dapat Anda ketahui bahwa untuk mendapatkan besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut adalah dengan cara mengalikan matriks P dan Q, sebagai berikut:

Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom pengali (matriks pertama yaitu P) sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu Q). Dari uraian diketahui bahwa ordo P2 × 2 dan Q 2 × 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1.

Secara umum, jika matriks P berordo m × p dan matriks Q berordo p × n maka matriks hasil kali PQ berordo m × n.

Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Metode Matriks

Penerapan pada Sistem Persamaan Linear Kamu telah mempelajari sistem persamaan linear dan penyelesaiannya dengan metode substitusi dan eliminisai. Tahukah kalian bahwa sistem persamaan linear juga dapat diselesaikan

dengan operasi matriks?

a. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Misal, diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut.

ax + by = p ........................... (1) 

cx + dy = q

Ubahlah sistem persamaan (1) ke bentuk persamaan matriks. Apakah hasilmu sama seperti berikut:

${\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$

untuk menentukan himpunan penyelesaian ada dua cara yaitu Metode Determinan dan Metode Invers :

Cara I

Misal, diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut.
ax + by = p ........................... (1)
cx + dy = q ........................... (2)
Ubahlah sistem persamaan ke bentuk persamaan matriks.
${\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$
maka untuk menentukan nilai x dan y dengan rumus Metode Determinan Matriks:
nilai x = $\frac{{\begin{bmatrix} p&b\\ q&d \end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}}}$
nilai y = $\frac{{\begin{bmatrix} a&p\\ c&q \end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}}}$

next:

Cara II

Misal, diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut.
ax + by = p ........................... (1)
cx + dy = q ........................... (2)
Ubahlah sistem persamaan ke bentuk persamaan matriks.
${\begin{bmatrix} a&b\\ c&d \end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} p \\ q \end{bmatrix}$
maka untuk menentukan nilai x dan y dengan rumus Metode Invers Matriks:

Pembahasan Soal 

Contoh Soal 1:

Imas dan Dewi pergi belanja ke pasar. Imas membeli 3 kg kentang dan 2 kg wortel, untuk itu Imas harus membayar Rp13.500,00. Adapun Dewi membeli 2 kg kentang dan 1 kg wortel. Dewi diharuskan membayar Rp8.500,00. Misalkan harga 1 kg kentang adalah a rupiah dan harga 1 kg wortel b rupiah.

Penyelesaian:

Cara I

Misal, diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut.
3a + 2b = 13500 ........................... (1)
2a + b = 8500 ........................... (2)
Ubahlah sistem persamaan ke bentuk persamaan matriks.
${\begin{bmatrix} 3&2\\ 2&1 \end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} 13.500 \\ 8.500 \end{bmatrix}$
maka untuk menentukan nilai x dan y dengan rumus Metode Determinan Matriks:
nilai x = $\frac{{\begin{bmatrix} 13500&2\\ 8500&1 \end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix} 3&2\\ 2&1 \end{bmatrix}}}$ = $\frac{13500.1 - 2.8500}{3.1 - 2.2}$ = $\frac{13500 - 17000}{3 - 4}$ = 3500 
nilai y = $\frac{{\begin{bmatrix} 3&13500\\ 2&8500 \end{bmatrix}}}{{\begin{bmatrix} 3&2\\ 2&1 \end{bmatrix}}}$ = $\frac{3.8500 - 2.13500}{3.1 - 2.2}$  = $\frac{25500 - 27000}{3 - 4}$ = 1500

next:

Cara II

Misal, diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut.
3a + 2b = 13500 ........................... (1)
2a + b = 8500 ........................... (2)
Ubahlah sistem persamaan ke bentuk persamaan matriks.
${\begin{bmatrix} 3&2\\ 2&1 \end{bmatrix}}$ = $\begin{bmatrix} 13.500 \\ 8.500 \end{bmatrix}$
maka untuk menentukan nilai x dan y dengan rumus Metode Invers Matriks:

Referensi Soal: