Perkalian Matriks

Pengertian Perkalian Matriks

sebuah matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Adapun elemen-elemen matriks hasil kali ini adalah jumlah dari hasil kali elemen-elemen pada baris matriks A dengan elemen-elemen pada kolom matriks B.

misalkan:

matriks A = ${\begin{bmatrix}  a&b\\ c&d   \end{bmatrix}}$ dan B = ${\begin{bmatrix}  e&f\\ g&h   \end{bmatrix}}$ maka perkalian matriks A dan B (A x B) yaitu:

A x B = ${\begin{bmatrix}  a&b\\ c&d   \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}  e&f\\ g&h   \end{bmatrix}}$ 

A x B = ${\begin{bmatrix}  a.e+b.g&a.f+b.h\\ c.e+d.g&c.f+d.h   \end{bmatrix}}$ 

Definisi Perkalian Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dikalikan (ditulis AB) jika banyak kolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B. Elemen-elemen pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris pada matriks A dengan elemen kolom pada matriks B.

Sifat-Sifat Perkalian Matriks 

ada beberapa Sifat-Sifat Perkalian Matriks yaitu:

sifat-sifat Perkalian Matriks

1. AB ≠ BA Tidak komutatif
2. A(BC) = (AB)C Asosiatif
3. A(B + C) = AB + AC Distributif
4. (A + B)C = AC + BC Distributif
5. k(AB) = kA(B) = A(kB) Asosiatif
6. IA = AI = A Perkalian dengan Identitas
7. (AB)ᵗ = BᵗAᵗ
8. (BA)ᵗ = AᵗBᵗ

Contoh Soal 1 

Diketahui matriks-matriks berikut. P = ${\begin{bmatrix}  -1&0\\ 2&1   \end{bmatrix}}$; Q = ${\begin{bmatrix}  -3&2\\ 5&7   \end{bmatrix}}$ tentukan nilai PQ:

penyelesaian:

PQ = ${\begin{bmatrix}  -1&0\\ 2&1   \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}  -3&2\\ 5&7   \end{bmatrix}}$

PQ = ${\begin{bmatrix}  -1&0\\ 2&1   \end{bmatrix}}$ x ${\begin{bmatrix}  -3&2\\ 5&7   \end{bmatrix}}$

PQ = ${\begin{bmatrix}  -1.-3+0.5&-1.2+0.7\\ 2.-3+1.5&2.2+1.7   \end{bmatrix}}$ 

PQ = ${\begin{bmatrix}  3+0&-2+0\\ -6+5&4+7   \end{bmatrix}}$

PQ = ${\begin{bmatrix}  3&-2\\ -1&11   \end{bmatrix}}$ 

Jenis-Jenis Perkalian Matriks

beberapa Jenis-Jenis Perkalian Matriks:

Kata Kunci:

Perkalian Matriks merupakan Metode menggabungkan dua matriks ini disebut perkalian matriks. Aturannya adalah “kalikan baris dengan kolom dan jumlahkan hasilnya”.

Perkalian Matriks (1 baris x 1 kolom)

"Secara umum, jika matriks P memiliki satu baris dan matriks Q memiliki satu kolom maka matriks hasil kali PQ yaitu: $\begin{bmatrix} a&  b\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}$ = [a.c + b.d]"

contoh soal 1:

$\begin{bmatrix} 2&  4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}$ = [2.1 + 4.5]

$\begin{bmatrix} 2&  4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}$ = [2 + 20]

$\begin{bmatrix} 2&  4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}$ = 20

Perkalian Matriks (P₍₂,₂₎ x Q₍₁,₂₎)

"Secara umum, jika matriks P₍₂,₂₎ memiliki dua baris dan dua kolom, matriks Q₍₁,₂₎ memiliki satu kolom dan dua baris maka matriks hasil kali PQ. yaitu: $\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}e\\f\end{bmatrix}$ = [a.e + b.f  c.e + d.f]"

contoh soal 1:

$\begin{bmatrix} 2& 3\\ 1& 4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}$ = [2.1 + 3.5 1.1 + 4.5]

$\begin{bmatrix} 2& 3\\ 1& 4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}$ = [2+15 1+20]

$\begin{bmatrix} 2& 3\\ 1& 4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}$ = [17 21]

Perkalian Matriks (P₍₂,₂₎ x Q₍₂,₂₎)

Secara umum, jika matriks P₍₂,₂₎ memiliki dua baris dan dua kolom, matriks Q₍₂,₂₎ memiliki dua kolom dan dua baris maka matriks hasil kali PQ. yaitu: $\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} e& f\\ g& h\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} a.e+b.g& a.f+b.h\\ c.e+d.g& c.f+d.h\\\end{bmatrix}$

contoh soal 1:

$\begin{bmatrix} 2& 7\\ 1& 2\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 3& 4\\ 5& 6\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 2.3+7.5& 2.4+7.6\\ 1.3+2.5& 1.4+2.6\\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2& 7\\ 1& 2\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 3& 4\\ 5& 6\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 6+35& 8+42\\ 3+10& 4+12\\\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2& 7\\ 1& 2\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 3& 4\\ 5& 6\\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 41& 50\\ 13& 16\\\end{bmatrix}$

Perkalian Matriks (P₍₂,₂₎ x Q₍₂,₃₎)

Secara umum, jika matriks P₍₂,₂₎ memiliki dua baris dan dua kolom, matriks Q₍₂,₃₎ memiliki dua baris dan tiga kolom maka matriks hasil kali PQ. yaitu: $\begin{bmatrix} a& b\\ c& d\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} e&f&g  \\ h& i &j  \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} a.e+b.h&a.f+b.i&a.g+b.j  \\ c.e+d.h& c.f+d.i &c.g+d.j  \\\end{bmatrix}$

contoh soal 1:

$\begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 5&6&9  \\ 7& 8 &0  \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 1.5+2.7&1.6+2.8&1.9+2.0  \\ 3.5+4.7& 3.6+4.8 &3.9+4.0 \\\end{bmatrix}$ 

$\begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 5&6&9  \\ 7& 8 &0  \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 5+14&6+16&9+0  \\ 15+28& 18+32 &27+0 \\\end{bmatrix}$ 

$\begin{bmatrix} 1& 2\\ 3& 4\\\end{bmatrix}$ x $\begin{bmatrix} 5&6&9  \\ 7& 8 &0  \\\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 19&22&9  \\ 43& 50 &27\\\end{bmatrix}$ 

Perkalian Matriks (P₍₃,₃₎ x Q₍₃,₃₎)

Secara umum, jika matriks P₍₃,₃₎  memiliki tiga baris dan tiga kolom, matriks Q₍₃,₃₎ memiliki tiga baris dan tiga kolom maka matriks hasil kali PQ.  jika diketahui matriks P = ${\begin{bmatrix} a& b &c\\ d&e&f \\ g&h&i \\\end{bmatrix}}$ dan Q = ${\begin{bmatrix} j& k &l\\ m&n&o \\ p&q&r \\\end{bmatrix}}$ maka:  P x Q = ${\begin{bmatrix} a.j+b.m+c.p& a.k+b.n+c.q &a.l+b.o+c.r\\ d.j+e.m+f.p&d.k+e.n+f.q&d.l+e.o+f.r \\ g.j+h.m+i.p&g.k+h.n+i.q&g.l+h.o+i.r \\\end{bmatrix}}$

contoh soal 1:

jika diketahui matriks A = ${\begin{bmatrix} 1& 2 &1\\ 3&2&1 \\ 1&1&1 \\\end{bmatrix}}$ dan B = ${\begin{bmatrix} 2& 3 &4\\ 1&2&3 \\ 2&3&1 \\\end{bmatrix}}$ maka: 

A x B = ${\begin{bmatrix} 1.2+2.1+1.2& 1.3+2.2+1.3 &1.4+2.3+1.1\\ 3.2+2.1+1.2&3.3+2.2+1.3&3.4+2.3+1.1 \\ 1.2+1.1+1.2&1.3+1.2+1.3&1.4+1.3+1.1 \\\end{bmatrix}}$

A x B = ${\begin{bmatrix} 2+2+2& 3+4+3 &4+6+1\\ 6+2+2&9+4+3&12+6+1 \\ 2+1+1&3+2+3&4+3+1 \\\end{bmatrix}}$

A x B = ${\begin{bmatrix} 6& 10 &11\\ 10&16&23 \\ 4&8&8 \\\end{bmatrix}}$