Perkalian Skalar Matriks
Pengertian Skalar Matriks
Dalam aljabar, perkalian terhadap suatu bilangan merupakan penjumlahan ber ulang dari bilangan tersebut. Misalnya, perkalian berikut.
2a = a + a
ka = a + a + ...+ a
Definisi Perkalian Bilangan Real dan Matriks Jika A sebarang matriks, dan k sebarang bilangan real maka kA adalah sebuah matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian k dengan setiap elemen matriks A. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar.
Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Misalkan a dan b skalar, D dan H matriks sebarang dengan ordo sama, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
Sifat-Sifat Perkalian Skalar
- aD + aH = a(D + H)
- aD + bD = (a + b)D
- a(bD) = (ab)D
Dalam matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Untuk lebih jelasnya,
pelajari uraian berikut.
- aD + bD = (a + b)D
- a(bD) = (ab)D
contoh soal 1:
misalkan A = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$ tentukan 2A.
penyelesaian:
cara pertama:
2A = A + A = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$ + ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$
2A = ${\begin{bmatrix} 2+2&1+1\\ 3+3&2+2
\end{bmatrix}}$
2A = ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 6&4
\end{bmatrix}}$
cara kedua:
2A = 2${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$
2A = ${\begin{bmatrix} 2.2&2.1\\ 2.3&2.2
\end{bmatrix}}$
2A = ${\begin{bmatrix} 4&2\\ 6&4
\end{bmatrix}}$
Jadi, matriks 2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan
matriks H dengan matriks H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian 2
dengan setiap elemen pada matriks H.
contoh soal 2:
misalkan A = ${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$ tentukan -2A.
penyelesaian:
cara pertama:
-2A = -A + (-A) = -A - A
-2A = -${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$ - ${\begin{bmatrix} 2&1\\
3&2 \end{bmatrix}}$
-2A = ${\begin{bmatrix} -2-2&-1-1\\ -3-3&-2-2
\end{bmatrix}}$
-2A = ${\begin{bmatrix} -4&-2\\ -6&-4
\end{bmatrix}}$
cara kedua:
-2A = -2${\begin{bmatrix} 2&1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$
-2A = ${\begin{bmatrix} -2.2&-2.1\\ -2.3&-2.2
\end{bmatrix}}$
-2A = ${\begin{bmatrix} -4&-2\\ -6&-4
\end{bmatrix}}$
Jadi, matriks –2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan
matriks -H dengan matriks –H, atau dengan kata lain hasil dari
perkalian –2 dengan setiap elemen pada matriks H.
Pembahasan Soal Matriks
soal 1
Misalkan, D =
${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$ dan H =
${\begin{bmatrix} 0&-1\\
3&2
\end{bmatrix}}$ dan
skalar-skalar
a dan b dengan a = 2 dan b = –1
buktikan:
a. Hitunglah aD + aH dan a(D + H).
Apakah aD + aH = a(D + H)?
b. Hitunglah aD + bD dan (a + b)D.
Apakah aD + bD = (a + b)D?
penyelesaian:
a. Hitunglah aD + aH dan a(D
+ H). Apakah aD + aH = a(D +
H)?
cara pertama:
aD + aH = 2${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$
+(-1)${\begin{bmatrix}
0&-1\\ 3&2
\end{bmatrix}}$
aD + aH = ${\begin{bmatrix}
2.3&2.-11\\ 2.4&2.-2
\end{bmatrix}}$
+${\begin{bmatrix}
2.0&2.-1\\ 2.3&2.2
\end{bmatrix}}$
aD + aH = ${\begin{bmatrix}
6&-22\\ 8&-4
\end{bmatrix}}$
+${\begin{bmatrix}
0&-2\\ 6&4
\end{bmatrix}}$
aD + aH = ${\begin{bmatrix}
6+0&-22-2\\ 8+6&-4+4
\end{bmatrix}}$
aD + aH = ${\begin{bmatrix}
6&-24\\ 14&0
\end{bmatrix}}$
cara kedua
D + H = ${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$ +
${\begin{bmatrix} 0&-1\\
3&2
\end{bmatrix}}$
D + H = ${\begin{bmatrix}
3+0&-11+(-1)\\
4+3&-2+2
\end{bmatrix}}$
D + H = ${\begin{bmatrix}
3&-12\\ 7&0
\end{bmatrix}}$
a(D + H) =
2${\begin{bmatrix}
3&-12\\ 7&0
\end{bmatrix}}$
a(D + H) = ${\begin{bmatrix}
2.3&2.-12\\ 2.7&2.0
\end{bmatrix}}$
a(D + H) = ${\begin{bmatrix}
6&24\\ 14&0
\end{bmatrix}}$
jadi, terbukti bahwa aD + aH = a(D
+ H)
b. Hitunglah aD + bD dan (a +
b)D. Apakah aD + bD = (a +
b)D?
cara pertama:
aD + bD = 2${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$ +
(-1)${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$
aD + bD = ${\begin{bmatrix}
2.3&2.-11\\ 2.4&2.-2
\end{bmatrix}}$ +
${\begin{bmatrix}
-1.3&-1.-11\\
-1.4&-1.-2
\end{bmatrix}}$
aD + bD = ${\begin{bmatrix}
6&-22\\ 8&-4
\end{bmatrix}}$ +
${\begin{bmatrix}
-3&11\\ -4&2
\end{bmatrix}}$
aD + bD = ${\begin{bmatrix}
6+(-3)&-22+(11)\\
8+(-4)&-4+2
\end{bmatrix}}$
aD + bD = ${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$
cara kedua:
(a + b)D =
(2+(-1))${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$
(a + b)D =
(1)${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$
(a + b)D = ${\begin{bmatrix}
1.3&1.-11\\ 1.4&1.-2
\end{bmatrix}}$
(a + b)D = ${\begin{bmatrix}
3&-11\\ 4&-2
\end{bmatrix}}$
jadi terbukti bahwa aD + bD = (a +
b)D.
soal
2
diketahui
Matriks
A
=
${\begin{bmatrix}
20&12\\
14&4
\end{bmatrix}}$
tentukan
matriks
5A....?
penyelesaian:
5A
=
5.
${\begin{bmatrix}
20&12\\
14&4
\end{bmatrix}}$
5A
=
${\begin{bmatrix}
5.20&5.12\\
5.14&5.4
\end{bmatrix}}$
5A
=
${\begin{bmatrix}
100&60\\
70&20
\end{bmatrix}}$
Next:
Next:
Post a Comment for "Perkalian Skalar Matriks"