Cara Mencari Jarak antara Dua Titik pada Bidang Koordinat

materi kali ini kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan letak suatu titik pada bidang, sebelumnya kita sudah membahas mengenai teorema pythagoras yang memiliki hubungannya dengan bagaimana cara mencari jarak antara dua titik pada bidang koordinat  jika diberikan dua titik pada koordinat Kartesius, maka bagaimana cara kita mencari jarak dari kedua titik tersebut? Masih ingatkah dengan Teorema Pythagoras? 

Daftar Isi

1. Pengertian Jarak Antara Dua Titik pada Bidang Koordinat
2. Menentukan Jarak antara Dua Titik pada Bidang Koordinat
3. Membuktikan Sebuah Bangun Datar Dengan Cara Mencari Jarak Antara Kedua Titik pada Bidang Koordinat

Teorema pythagoras mengatakan bahwa adalah Jumlah kuadrat kedua sisi segitga siku-siku sama dengan kuadrat kedua sisi depan siku-siku (hipotenusa).  dimana hipotenusa adalah sisi yang paling terpanjang dari segitiga siku-siku dan salah satu sudutnya harus 90 derajat. sekilas dulu mengenai pengertian pythagoras. dari teorema diatas itu hanya berlaku pada segitiga siku-siku. untuk lebih jelasnya ketahaui cara menentukan jarak antara dua titik pada bidang koordinat.

Pengertian Jarak Antara Dua Titik pada Bidang Koordinat

dalam bidang koordinat terdapat dua garis real, yaitu satu sisi mendatar (Horizontal) dan satu sisi tegak (Vertikal) kedua sisi tersebut berpotongan pada titik-titik nol atau sering di istilahkan titik asal.

perhatikan gambar dibawah ini:

Dari gambar diatas terdapat sumbu-sumbu koordinat, yaitu satu sisi mendatar (Horizontal)  yang sering disebut sumbu X, satu sisi tegak (Vertikal) yang sering disebut sumbu y. dan titik nol merupakan titik asal pada bidang koordinat kartesius.

dalam bidang koordinat kartesius terdapat empat buah wilayah yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan Kuadran IV.

keterangan:

• kuadran I  nilai y dan x memiliki garis bilangan real yang positif
• kuadran II yaitu nilai y memiliki garis bilangan real yang positif dan nilai x memiliki garis bilangan real yang negatif.
• kuadran III yaitu nilai y memiliki garis bilangan real yang negatif. dan nilai x garis bilangan real yang negatif.
• kuadran IV yaitu nilai y memiliki garis bilangan real yang negatif dan nilai x garis bilangan real yang positif

Menentukan Jarak antara Dua Titik pada Bidang Koordinat

perhatikan gambar dibawah ini:

perhatikan dua titik P dan Q, masing-masing dengan koordinat-koordinat ($x_{1}$,$y_{1}$) dan ($x_{2}$,$y_{2}$). untuk menemukan rumus  Jarak antara Dua Titik pada Bidang Koordinat, dibantu dengan membentuk sebuah bangun datar berbentuk segitiga siku-siku.

dari masing-masing koordinata-koordinat yaitu titik P, titik Q dan titik R. titik R merupakan titi-titik sudut sebuah segitiga siku-siku. panjang PR, dan QR masing-masing $\left |x_{2}-x_{1} \right | dan \left |y_{2}-y_{1} \right|$. jika kita menerapakan konsep rumus teorema pythagoras  maka  diperoleh rumus jarak adalah:

d(P,Q) =  $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

contoh soal 1

diketahui titik A(2,4) dan B(10,4) tentukanlah jarak antara kedua titik dan gambarlah titi-titik dalam bidang koordinat.

penyelesaian:

jarak kedua titik AB

diketahui

titik A (2,4)

$x_{1}$ = 2

$y_{1}$ = 4

titik B(10,4)

$x_{2}$ = 10

$y_{2}$ = 4

maka jarak antara kedua titik AB

d(A,B) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(A,B) = $\sqrt{(10-2)^2 + (4-4)^2}$

d(A,B) = $\sqrt{(8)^2 + (0)^2}$

d(A,B) = $\sqrt{64}$

d(A,B) = 8

 jarak antara kedua titik AB = 8

gambar kedua titik A(2,4) dan B(10,4) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

contoh soal 2

diketahui titik P(1,3) dan Q(-3,0) tentukanlah jarak antara kedua titik dan gambarlah titi-titik dalam bidang koordinat.

penyelesaian:

jarak kedua titik PQ

diketahui

titik P (1,3)

$x_{1}$ = 1

$y_{1}$ = 3

titik  Q(-3,0)

$x_{2}$ = -3

$y_{2}$ = 0

maka jarak antara kedua titik AB

d(P,Q) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(P,Q) = $\sqrt{(-3-1)^2 + (0-3)^2}$

d(P,Q) = $\sqrt{(-4)^2 + (-3)^2}$

d(PQ) = $\sqrt{16 + 9}$

d(PQ) = $\sqrt{25}$

d(P,Q) = 5

 jarak antara kedua titik PQ = 5

gambar kedua titik P(1,3) dan Q(-3,0) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

contoh soal 3

diketahui titik M(-3,5) dan N(-3,-3) tentukanlah jarak antara kedua titik dan gambarlah titi-titik dalam bidang koordinat.

penyelesaian:

jarak kedua titik MN

diketahui

titik M(-3,5)

$x_{1}$ = -3

$y_{1}$ = 5

titik  N(-3,-3)

$x_{2}$ = -3

$y_{2}$ = -3

maka jarak antara kedua titik MN

d(M,N) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(M,N) = $\sqrt{(-3-(-3))^2 + (-3-5)^2}$

d(M,N) = $\sqrt{(-3+3)^2 + (-8)^2}$

d(M,N) = $\sqrt{(0)^2 + (-8)^2}$

d(M,N) = $\sqrt{0 + 64}$

d(M,N) = $\sqrt{64}$

d(M,N)= 8

 jarak antara kedua titik MN = 8

gambar kedua titik M(-3,5) dan N(-3,-3) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

contoh soal 4

diketahui titik K(-2,3) dan L(10,-2) tentukanlah jarak antara kedua titik dan gambarlah titi-titik dalam bidang koordinat.

penyelesaian:

jarak kedua titik KL

diketahui

titik K(-2,3)

$x_{1}$ = -2

$y_{1}$ = 3

titik  L(10,-2)

$x_{2}$ = 10

$y_{2}$ = -2

maka jarak antara kedua titik KL

d(K,L) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(K,L) = $\sqrt{(-2- 10)^2 + (3-(-2))^2}$

d(K,L) = $\sqrt{(-12)^2 + (3 + 2)^2}$

d(K,L) = $\sqrt{(-12)^2 + (5)^2}$

d(K,L) = $\sqrt{144 + 25}$

d(K,L) = $\sqrt{169}$

d(K,L) = 13

 jarak antara kedua titik KL = 8

gambar kedua titik K(-2,3) dan L(10,-2) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

contoh soal 5

diketahui titik P(2,4) dan Q(-4,-4) tentukanlah jarak antara kedua titik dan gambarlah titi-titik dalam bidang koordinat.

penyelesaian:

jarak kedua titik PQ

diketahui

titik P(2,4)

$x_{1}$ = 2

$y_{1}$ = 4

titik  Q(-4,-4)

$x_{2}$ = -4

$y_{2}$ = -4

maka jarak antara kedua titik KL

d(P,Q) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(P,Q)  = $\sqrt{(-4- 2)^2 + (-4-4)^2}$

d(P,Q)  = $\sqrt{(-6)^2 + (-8)^2}$

d(P,Q) = $\sqrt{36 + 64}$

d(P,Q)  = $\sqrt{100}$

d(P,Q)  = 10

 jarak antara kedua titik PQ = 10

gambar kedua titik P(2,4) dan Q(-4,-4) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

Membuktikan Sebuah Bangun Datar Dengan Cara Mencari Jarak Antara Kedua Titik pada Bidang Koordinat

---

contoh soal 1

buktikan dan gambarkanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah P(5, 3), Q(-2, 4), dan R(10, 8) adalah samakaki.

penyelesaian:

untuk membuktikan bahwa titik-titik koordinat diatas kita harus mencari jarak dari ketiga garis tersebut yaitu: QR, QP, PR

jarak kedua titik QR

diketahui

titik Q(-2, 4)

$x_{1}$ = -2

$y_{1}$ = 4

titik  R(10, 8)

$x_{2}$ = 10

$y_{2}$ = 8

maka jarak antara kedua titik QR

d(Q,R) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(Q,R)  = $\sqrt{(10- (-2))^2 + (8-4)^2}$

d(Q,R)  = $\sqrt{(10 + 2)^2 + (4)^2}$

d(Q,R) = $\sqrt{144 + 16}$

d(Q,R)  = $\sqrt{160}$

d(Q,R)  = 4$\sqrt{10}$

 jarak antara kedua titik QR = 4$\sqrt{10}$

jarak kedua titik QP

diketahui

titik Q(-2, 4)

$x_{1}$ = -2

$y_{1}$ = 4

titik  P(5, 3)

$x_{2}$ = 5

$y_{2}$ = 3

maka jarak antara kedua titik QP

d(Q,P) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(Q,P)  = $\sqrt{(5- (-2))^2 + (3-4)^2}$

d(Q,P)  = $\sqrt{(7)^2 + (-1)^2}$

d(Q,P) = $\sqrt{49 + 1}$

d(Q,P)  = $\sqrt{50}$

d(Q,P) = 5$\sqrt{2}$

 jarak antara kedua titik QP = 5$\sqrt{2}$

jarak kedua titik PR

diketahui

titik  P(5, 3)

$x_{2}$ = 5

$y_{2}$ = 3

titik  R(10, 8)

$x_{2}$ = 10

$y_{2}$ = 8

maka jarak antara kedua titik PR

d(P,R) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(P,R) = $\sqrt{(10- 5)^2 + (8-3)^2}$

d(P,R)  = $\sqrt{(5)^2 + (5)^2}$

d(P,R)= $\sqrt{25 + 25}$

d(P,R) = $\sqrt{50}$

d(P,R)= 5$\sqrt{2}$

jarak antara kedua titik QR = 5$\sqrt{2}$

setelah kita menentukan jarak dari titik-titik ketiga sudut. terbukti bahwa ketiga titik sudut tersebut adalah membentuk bangun datar segitiga sama kaki. karena panjang PR = panjang QP.

gambar ketiga titik sudut P(5, 3), Q(-2, 4), dan R(10, 8) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

contoh soal 2

buktikan dan gambarkanlah bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah A(2, -4), B(4, 0), dan C(8, -2) adalah dapat membentuk segitiga siku-siku dan sama kaki.

penyelesaian:

untuk membuktikan bahwa titik-titik koordinat diatas kita harus mencari jarak dari ketiga garis tersebut yaitu: AB, BC, AC

jarak kedua titik AB

diketahui

titik A(2, -4)

$x_{1}$ = 2

$y_{1}$ = -4

titik  B(4, 0)

$x_{2}$ = 4

$y_{2}$ = 0

maka jarak antara kedua titik AB

d(A,B) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(A,B)  = $\sqrt{(4- 2)^2 + (0-(-4))^2}$

d(A,B)  = $\sqrt{(2)^2 + (4)^2}$

d(A,B) = $\sqrt{4 + 16}$

d(A,B)  = $\sqrt{20}$

d(A,B)  = 2$\sqrt{5}$

 jarak antara kedua titik QR = 2$\sqrt{5}$

jarak kedua titik BC

diketahui

titik B(4, 0)

$x_{1}$ = 4

$y_{1}$ = 0

titik  C(8, -2)

$x_{2}$ = 8

$y_{2}$ = -2

maka jarak antara kedua titik BC

d(B,C)  = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(B,C)  = $\sqrt{(8-4)^2 + (-2-0)^2}$

d(B,C)  = $\sqrt{(4)^2 + (-2)^2}$

d(B,C) = $\sqrt{16 + 4}$

d(B,C) = $\sqrt{20}$

d(B,C) = 2$\sqrt{5}$

 jarak antara kedua titik BC = 2$\sqrt{5}$

jarak kedua titik AC

diketahui

titik  A(2, -4)

$x_{2}$ = 2

$y_{2}$ = -4

titik  C(8, -2)

$x_{2}$ = 8

$y_{2}$ = -2

maka jarak antara kedua titik AC

d(A,C) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(A,C) = $\sqrt{(8- 2)^2 + (-2-(4))^2}$

d(A,C)  = $\sqrt{(6)^2 + (2)^2}$

d(A,C) = $\sqrt{36 + 4}$

d(A,C) = $\sqrt{40}$

d(A,C) = 2$\sqrt{10}$

jarak antara kedua titik AC = 5$\sqrt{2}$.

Pembuktian bahwa ketiga titik tersebut membentuk segitiga sama kaki

setelah kita menentukan jarak dari titik-titik ketiga sudut. terbukti bahwa ketiga titik sudut tersebut adalah membentuk bangun datar segitiga sama kaki. karena panjang AB = panjang BC

Pembuktian bahwa ketiga titik tersebut membentuk segitiga siku-siku

setelah itu pembuktian bahwa ketiga titik sudut adalah segitiga siku-siku. masih ingatkan pengertian segitiga siku-siku. segitiga siku-siku adalah jumlah kuadrat sisi depan sudut alfa dan sisi yang mengapit sudut alfa sama dengan sisi terpanjang.

$AC^{2}$ = $AB^{2}$ + $BC^{2}$

$(2\sqrt{10})^{2}$ = $(2\sqrt{5})^{2}$ + $(2\sqrt{5})^{2}$

4 x 10 = 4 x 5 + 4 x 5

40 = 40

jadi, terbukti bahwa ketiga titik tersebut membentuk segitiga siku-siku

gambar ketiga titik sudut P(5, 3), Q(-2, 4), dan R(10, 8) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah:

contoh soal 3

buktikan dan gambarkanlah bahwa titik-titik sudutnya adalah A(3, 3), B(3, -2), dan C(8, -2), D(8, 3) adalah dapat membentuk bangun datar segi empat.

penyelesaian:

untuk membuktikan bahwa titik-titik koordinat diatas kita harus mencari jarak dari ketiga garis tersebut yaitu: AB, BC, CD, AD

jarak kedua titik AB

diketahui

titik  A(3, 3)

$x_{1}$ = 3

$y_{1}$ = 3

titik  B(3, -2)

$x_{2}$ = 3

$y_{2}$ = -2

maka jarak antara kedua titik AB

d(A,B) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(A,B)  = $\sqrt{(3- 3)^2 + (-2-3)^2}$

d(A,B)  = $\sqrt{(0)^2 + (-5)^2}$

d(A,B) = $\sqrt{0 + 25}$

d(A,B)  = $\sqrt{25}$

d(A,B)  = 5

 jarak antara kedua titik AB = 5

jarak kedua titik BC

diketahui

titik B(3, -2)

$x_{1}$ = 3

$y_{1}$ = -2

titik   C(8, -2)

$x_{2}$ = 8

$y_{2}$ = -2

maka jarak antara kedua titik BC

d(C,D)  = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(C,D)   = $\sqrt{(8-3)^2 + (-2-3)^2}$

d(C,D)   = $\sqrt{(0)^2 + (-5)^2}$

d(C,D)  = $\sqrt{0+ 25}$

d(C,D)  = $\sqrt{25}$

d(C,D) = 5 

 jarak antara kedua titik CD = 5

jarak kedua titik CD

diketahui

titik C(8, -2)

$x_{1}$ = 8

$y_{1}$ = -2

titik  D(8, 3)

$x_{2}$ = 8

$y_{2}$ = 3

maka jarak antara kedua titik CD

d(C,D)  = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(C,D)   = $\sqrt{(8-8)^2 + (-2-3)^2}$

d(C,D)   = $\sqrt{(0)^2 + (-5)^2}$

d(C,D)  = $\sqrt{0+ 25}$

d(C,D)  = $\sqrt{25}$

d(C,D) = 5 

 jarak antara kedua titik CD = 5

jarak kedua titik AD

diketahui

titik  A(3, 3)

$x_{1}$ = 3

$y_{1}$ = 3

titik  D(8, 3)

$x_{2}$ = 8

$y_{2}$ = 3

maka jarak antara kedua titik AC

d(A,C) = $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$

d(A,C) = $\sqrt{(8- 3)^2 + (3-3)^2}$

d(A,C)  = $\sqrt{(5)^2 + (0)^2}$

d(A,C) = $\sqrt{25 + 0}$

d(A,C) = $\sqrt{25}$

d(A,C) = 5

jarak antara kedua titik AC = 5

Pembuktian bahwa keempat titik tersebut membentuk [persegii

setelah kita menentukan jarak dari titik-titik ketiga sudut. terbukti bahwa keempat titik sudut tersebut adalah membentuk bangun datar persergi. karena panjang AB = panjang BC = panjang CD = panjang AD

jadi, terbukti bahwa ketiga titik tersebut membentuk bangun datar persegi

gambar Keempat titik sudut A(3, 3), B(3, -2), dan C(8, -2), D(8, 3) dari titik-titik dalam bidang koordinat adalah: