Tips Mudah Belajar Logaritma: (Pengertian, Perkalian, Pembagian, Perpangkatan, Mengubah Bilangan Pokok, dan Pembahasan Soal)

 » Pengertian Logaritma

Materi kali ini kita akan membahas mengenai pengertian dan sifat-sifat  logaritma secara manual, pada bagian sebelumnya kita telah membahas mengenai bagaimana mencari nilai logaritma secara manual.

Nilai logaritma terbentuk dari kebalikan nilai eksponan. Tentu kita sudah membahas materi perpangkatan misalnya a^x = y maka akan menghasilkan nilai X = ^a log Y.

x = ^alog Y maka dibaca “logaritma Y basis a”

perhatikan contoh dibawah ini:

Kebalikan Perpangkatan menghasilkan nilai logaritma: 2-2 = $\frac{1}{4}$  → 2log $\frac{1}{4}$  = -2 2-1 = $\frac{1}{2}$  → 2log $\frac{1}{2}$  = -1 20 = 1  → 2log 1  = 0 21 = 2 → 2log 2 = 1 21 = 2 → 2log 2 = 1

Contoh:

Tulislah bentuk eksponen berikut dalam bentuk logaritma!

a. 3² = 9

b. 5³ = 125

penyelesaian:

a. 3² = 9

masih ingatkah bentuk dari a^x = y maka bentuk ke logaritma menjadi nilai x = ^alog y

x = 2 ; a = 3 dan y = 9

sehingga;

2 = ² log 9.

b. 5³ = 125

masih ingatkah bentuk dari a^x = y maka bentuk ke logaritma menjadi nilai x = ^alog y

x = 3 ; a = 5 dan y = 125

sehingga;

3 = ⁵ log 125.

» Logaritma dari Perkalian

Teorema diatas merupakan bentuk logaritma dari perkalian, pembuktian:

Misalnya P = a^X dan Q = a^Y, maka

X = ^alog P dan Y= ^alog Q

^alog PQ = ^alog a^X . a^Y

^alog PQ = ^alog a^X+Y

^alog PQ = X + Y

^alog PQ = ^alog P + ^alog Q

Contoh:

1. diketahui log 2 = 0,310 tentukanlah nilai log 20..?

Penyelesaian:

Log 20 = log (2 x 10)

Log 20 = log 2 + log 10

Log 20 = 0,310 + 1

Log 20 = 1,310

2. diketahui ²log 3 = a dan ²log 5 = b, maka ²log 15 = …………..?

Penyelesaian:

²log 15 = ²log (5 x 3)

²log 15 = ²log 5 + ²log 3

²log 15 = b + a

²log 15 = a + b

» Logaritma dari Pembagian

Teorema diatas merupakan bentuk logaritma dari pembagian, pembuktian:

Misalnya P = a^X dan Q = a^Y, maka

X = ^alog P dan Y= ^alog Q

^alog $\frac{P}{Q}$ = ^alog (a^X : a^Y)

^alog $\frac{P}{Q}$ = ^alog a^{X - Y}

^alog $\frac{P}{Q}$ = X – Y

^alog $\frac{P}{Q}$ = ^alog P  – ^alog Q 

Contoh:

1. tentukan nilai log 30 – log 3 = ………… ?

Penyelesaian:

log 30 – log 3 = log (30 : 3)

log 30 – log 3 = log 10

log 30 – log 3 = 1

2. tentukan nilai ³log 30 – ³log 10 = ………… ?

Penyelesaian:

³log 30 – ³log 10 = ³log (30 : 10)

³log 30 – ³log 10 = ³log 3

» Logaritma dari Perpangkatan

Teorema diatas merupakan bentuk logaritma dari perpangkatan, pembuktian:

Misalnya:

 ^alog P^r = r . ^alog P

contoh:

tentukanlah nilai dari ³log 343 = ……?

Penyelesaian:

³log 343 = ³log (3⁵)

³log 343 = 5³log 3

³log 343 = 5 $\frac{log 3}{log 3}$

³log 343 = 5 x 1

³log 343 = 5.

» Mengubah Bilangan Pokok Logaritma

Teorema diatas merupakan cara mengubah bilangan pokok logaritma, yaitu: ^Plog Q = $\frac{log Q}{log P}$.

Contoh:

1. Jika log 2 = m dan log 3 = n, tentukan nilai ³log 12 = ……..?

Penyelesaian:

²log 12 = ²log (4 x 3)

²log 12 = ²log 4 + ²log 3

²log 12 = ²log 2² + ²log 3

²log 12 = 2 ²log 2+ ²log 3

²log 12 = 2 ²log 2+ $\frac{log 3}{log 2}$

²log 12 = 2 (1) + $\frac{m}{n}$

²log 12 = 2 + $\frac{m}{n}$

²log 12 = $\frac{2n + m}{n}$

2. sederhanakanlah ²log 3. ⁴log 5. ³log 4. ⁵log 8

Penyelesaian:

²log 3. ⁴log 5. ³log 5. ⁵log 2 = $\frac{log 3}{log 2}$ x $\frac{log 5}{log 4}$ x $\frac{log 4}{log 3}$ x $\frac{log 8}{log 5}$

²log 3. ⁴log 5. ³log 5. ⁵log 2 = $\frac{log 8}{log 2}$

²log 3. ⁴log 5. ³log 5. ⁵log 2 = 3$\frac{log 2}{log 2}$

²log 3. ⁴log 5. ³log 5. ⁵log 2 = 3 x 1

²log 3. ⁴log 5. ³log 5. ⁵log 2 = 3

» Pembahasan Soal Logaritma

1. bentuk perpangkatan 53 = 125 dapat ditulis dalam bentuk logaritma, yaitu
a. 3log 5 = 125	d. 5log 125 = 3
b. 5log 3 = 125	e. 3log 125 = 5
c. 3log 125 = 5
Kunci Jawaban: d Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: ax = y maka akan menghasilkan nilai X =  a log Y. Dari bentuk 53 = 125 X = 3 , a = 5, y = 125 maka konversi nilainya kebentuk  X =  a log Y. sehingga menjadi: 3 = 5log 125

2. bentuk perpangkatan 25 = 64 dapat ditulis dalam bentuk logaritma, yaitu
a. 3log 2 = 64	d. 5log 64 = 3
b. 2log 5 = 64	e. 2log 64 = 5
c. 3log 64 = 5
Kunci Jawaban: e Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: ax = y maka akan menghasilkan nilai X =  a log Y. Dari bentuk 53 = 125 X = 5 , a = 2, y = 64 maka konversi nilainya kebentuk  X =  a log Y. sehingga menjadi: 5 = 2log 64

3. bentuk perpangkatan 34 = 81 dapat ditulis dalam bentuk logaritma, yaitu
a. 3log 4 = 81	d. 2log 64 = 81
b. 3log 81 = 4	e. 2log 81 = 4
c. 3log 81 = 5
Kunci Jawaban: b Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: ax = y maka akan menghasilkan nilai X =  a log Y. Dari bentuk 34 = 81 X = 4 , a = 3, y = 81 maka konversi nilainya kebentuk  X =  alog Y. sehingga menjadi: 4 = 3log 81

4. bentuk perpangkatan 63 = 216 dapat ditulis dalam bentuk logaritma, yaitu
a. 3log 2 = 64	d. 5log 64 = 3
b. 2log 5 = 64	e. 2log 64 = 5
c. 3log 64 = 5
Kunci Jawaban: e Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: ax = y maka akan menghasilkan nilai X =  a log Y. Dari bentuk 63 = 216 X = 3 , a = 6, y = 216 maka konversi nilainya kebentuk  X =  alog Y. sehingga menjadi: 3 = 6log 216

5. apabila 3log 27 = x maka nilai x = …
a. 1	d. 4
b. 2	e. 5
c. 3
Kunci Jawaban: c Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: X =  a log Y → ax = y   Sehingga: 3log 27 = x 3log 33 = x X = 3log 33 X = 3 3log 3 X = 3 $\frac{log 3}{log 3}$ X = 3

6. apabila 3log 1 = p + 1  maka nilai p  = …
a. -1	d. 2
b. 0	e. 3
c. 1
Kunci Jawaban: c Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: X =  a log Y → ax = y   Sehingga: 3log 1 = p + 1  3log 30 = x p + 1   = 3log 30 p + 1   = 0 3log 3 p + 1   = 0 $\frac{log 3}{log 3}$ p + 1   = 0 p = - 1

7. log 5 + log 20 = …..
a. 1	d. 4
b. 2	e. 5
c. 3
Kunci Jawaban: b Untuk menyelesaikan soal diatas dapat digunakan teorema: log PQ = log P + log Q log 5 + log 20 = log 5 x 20 log 5 + log 20 = log 100 log 5 + log 20 = 2

8. log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000
a. 15	d. 10 log 10000
b. log 11.0000	e. 20
c. log 120
Kunci Jawaban: a Log 10 = 1 Log 100 = 2 Log 1000 = 3 Log 10.000 =  4                                                                                                        Log 100.000 = 5 Sehingga; log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = 15 atau dengan cara lain; log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = log 10. 100. 1000. 10.000. 100.000 log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = log 10. 102. 103. 104. 105 log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = log 101 + 2 + 3 + 4 + 5 log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = log 1015 log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = 15 log 10 log 10 + log 100 + log 1000 + log 10.000 + log 100.000 = 15