Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

Materi kali ini kita akan membahas cara menentukan kedudukan garis terhadap kurva parabola, sebelum-sebelumnya kita sudah membahas bagaimana cara mengerjakan soal-soal latihan tentang persamaan kuadrat, fungsi kuadrat, dan jenis-jenis akar fungsi kuadrat. Untuk lebih jelasnya perhatikan teorema-teorema dibawah ini:

Daftar Isi

1. a. Persamaan Kuadrat
2. b. Jenis-jenis akar-akar-akar persamaan kuadrat
3. c. Fungsi Kuadrat
4. d. Soal-Soal Latihan Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

a. Persamaan Kuadrat

Diketahui : ax² + bx + c mempunyai akar-akar x₁  dan x₂  maka jumlah akar dan hasil kali akar

x₁ + x₂ = -$\frac{b}{a}$

x₁ . x₂ = $\frac{c}{a}$

Rumus identitas:

(x₁)² + (x₂)² = (x₁ + x₂)² – x₁.x₂

(x₁)³ + (x₂)³ = (x₁ + x₂)³ – 3x₁.x₂ (x₁ + x₂)

b. Jenis-jenis akar-akar-akar persamaan kuadrat

Jenis akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c dapat diselidiki dengan menggunakan nilai diskriminan D = b² – 4ac, yaitu:

1)      jika D > 0 maka akar-akar real dan berbeda

2)      jika D = 0 maka akar-akar real dan kembar

3)      jika D < 0 maka akar-akar tidak real 

c. Fungsi Kuadrat

Menentukan Fungsi Kuadrat Sembarang ada tiga cara:

f(x) = ax² + bx + c jika diketahui tiga titik

f(x) = a(x-x₁) (x-x₂),    jika diketahui 2 titik potong pada sumbu x dan melalui sebuah titik yang lain

f(x) = a(x-x_p)² + y­_p ,    jika diketahui titik balik parabola p(x_p, y_p) dan melalui    sebuah titik 

Menentukan titik balik (titik ekstrim) parabola

F(x) = ax² + bx + c,     a ≠ 0,   a, b, c merupakan bilangan  Real  

Titik balik P (-$\frac{b}{2a}$,-$\frac{D}{4a}$)

x = -$\frac{b}{2a},$……….sumbu simetri 

y = -$\frac{D}{4a}$………sumbu simetri

jarak

ǀX₁ – X₂ǀ = $\frac{\sqrt{D}}{a}$

d. Soal-Soal Latihan Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Kurva Parabola

1. perhatikan persamaan grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + px + 3 menyinggung garis y = 2x + 3. Nilai p adalah …
a. -1 b. 0 c. 1	d. 2 e. 3
Kunci Jawaban: Diketahui: Ada fungsi kuadrat dan persamaan garis f(x) = x2 + px + 3 y = 2x + 3, keterangan bahwa nilai f(x) = y.. jadi nilai persamaan garis disubstitusikan ke persamaan fungsi kuadrat, sehingga f(x) = x2 + px + 3 2x + 3 = x2 + px + 3 0 = x2 + px + 3 – 2x – 3 0 = x2 + px – 2x 0 = x2 + x(p-2) x2 + x(p-2) = 0 bentuk persamaan diatas adalah persamaan kuadrat: jadi untuk menentukan nilai p dilakukan rumus diskriminan, karena menyinggung sumbu x: ax2 + bx + c = 0, dimana D = b2 – 4ac dari persamaan x2 + x(p-2) = 0 didapat nilai a = 1, b = (p-2), dan c= 0 D = b2 – 4ac D = (p-2)2 – 4 (1) (0) D = (p – 2)2 – 0 D = (p – 2)2 Karena akar-akar real dan kembar dari persamaan maka D = 0 0 = (p – 2)2 (p – 2)2 = 0 P = 2 Jadi nilai p = 2

2. diketahui parabola f(x) = (p + 1) x2 + (2p + 4)x + p +5 menyinggung sumbu x, nilai p adalah …
a. -1 b. 0 c. 1	d. 2 e. 3
Kunci Jawaban: Diketahui: f(x) = (p + 1) x2 + (2p + 4)x + p +5 bentuk persamaan diatas adalah persamaan kuadrat: jadi untuk menentukan nilai p dilakukan rumus diskriminan, karena menyinggung sumbu x: ax2 + bx + c = 0, dimana D = b2 – 4ac dari persamaan f(x) = (p + 1) x2 + (2p + 4)x + p +5  didapat nilai a = p + 1, b = (2p + 4), dan c = p + 5 D = b2 – 4ac D = (2p + 4)2 – 4 (p + 1) (p + 5) D = 4p2 + 8p + 8p + 16 – 4(p2 + 5p + p + 5) D = 4p2 + 16p + 16 – 4(p2 + 5p + p + 5) D = 4p2 + 16p + 16 – 4(p2 + 6p + 5) D = 4p2 + 16p + 16 – 4p2 - 24p – 20 D = 4p2 + 16p + 16 – 4p2 - 24p – 20 D = -8p -4 Karena akar-akar real dan kembar dari persamaan maka D = 0 0 = -8p -4 -8p - 4= 0 -8p = 4 p = $\frac{4}{-8}$ p = -$\frac{1}{2}$ Jadi nilai p = -$\frac{1}{2}$

3. diketahui sebuah garis y = -x + 2 menyinggung parabola f(x) = x2 + (z – 1)x + 6, maka nilai z yang memenuhi adalah ….
a. -4 atau 4 b. -4 atau 2 c. -3 atau 4	d. -2 atau 4 e. -3 atau 3
Kunci Jawaban: Diketahui: Ada fungsi kuadrat dan persamaan garis f(x) = x2 + (z – 1)x + 6 y = -x + 2, keterangan bahwa nilai f(x) = y.. jadi nilai persamaan garis disubstitusikan ke persamaan fungsi kuadrat, sehingga f(x) = x2 + (z – 1)x + 6 -x + 2= x2 + (z – 1)x + 6 0 = x2 +  zx – x + 6 +x -2 0 = x2 +  zx + 4 0 = x2 +  zx + 4 bentuk persamaan diatas adalah persamaan kuadrat: jadi untuk menentukan nilai z dilakukan rumus diskriminan, karena menyinggung sumbu x: ax2 + bx + c = 0, dimana D = b2 – 4ac dari persamaan x2 +  zx + 4= 0 didapat nilai a = 1, b = z, dan c= 4 D = b2 – 4ac D = (z)2 – 4 (1) (4) D = z2 - 16 Karena akar-akar real dan kembar dari persamaan maka D = 0 0 = z2 - 16 z2 – 16 = 0 z2 = 16 z = ±√16 z = ±4 Jadi nilai z = -4 atau z = 4