Deret Aritmetika dan Barisan Geometri

January 01, 2022 Post a Comment

Hello teman-teman kembali lagi kita pada materi mengenai deret aritmetika dan barisan geometri. sebelumnya kita sudah membahas mengenai deret matematika. deret aritmetika terbagi atas beberapa bagian yaitu menentukan beda, menentukan suku ke-n, jumlah bilangan, menentukan suku tengah, sisipan bilangan deret, hubungan antara suku ke-n dan deret. sementara pada barisan geometri kita akan menentukan rasio, suku ke-n, suku tengah, sisipan bilangan, jumlah bilangan, dan barisan geometri tak hingga.

Daftar Isi

Deret Aritmetika

apa itu Deret Aritmetika .?

Barisan dari aritmatika dapat di artikan adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku-suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap. Dan ciri – ciri umum nya dari barisan aritmatika yaitu mempunyai beda yang sama dari satu bilangan ke bilangan yang berikut nya. Contoh dari barisan aritmatika ialah U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_ndari defenisi barisan bilangan dapat kita tentukan bahwa:

U1 = a

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b

U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b

keterangan:

a = suku pertama disimbolkan dengan U1

b = beda dari setiap barisan aritmetika

apa itu Beda Pada Deret Aritmetika.?

dari barisan deret aritmetika seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n kita bisa menentukan hubungan dari beda setiap suku, ingat bahwa beda dari setiap suku memiliki nilai yang sama. sehingga dapat kita rumuskan bahwa

b = U2 - U1

b = U3 - U2

b = U4 - U3

b = U5 - U4

sehingga dari pola diatas bahwa beda setiap suku sama maka dapat rumuskan:

beda = U_{n -}U_n-1

_{bila b > 0 maka barisan aritmetika itu naik.}

_{bila b < 0 maka barisan aritmetika itu turun.}

contoh soal 1

18, 19, 20, 21, ....., ...... tentukan beda dari barisan aritmetika

penyelesaian:

U1 = 18

U2 = 19

b = U2 - U1

b = 19 - 18

b = 1

sehingga beda = 1

contoh soal 2

5, 8, 11, 14, 17, 20 ....., ...... tentukan beda dari barisan aritmetika

penyelesaian:

U1 = 5

U2 = 8

b = U2 - U1

b = 8 - 5

b = 3

sehingga beda = 3

apa itu Suku Ke-n pada Deret Aritmetika.?

misalnya suatu barisan deret aritmetika seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n. kita bisa menentukan suku ke-n yang sering disimbolkan dengan U_n.

Sehingga untuk menentukan suku ke - n suatu barisan aritmatika maka dapatditentukan sebuah rumus :

Un = a + (n - 1)b

Keterangan :

a = suku pertama

b = beda

Un = suku ke n

n = bilangan bulat

contoh soal 1

suatu barisan 2, 4, 6, 8, ...... tentukanlah suku kesepuluh pada barisan aritmetika.

penyelesaian:

a = 2

n = 10

b = U2 - U1 = 4 - 2 = 2

Un = a + (n - 1)b

U10 = 2 + (10 - 1)2

U10 = 2 + 9 x 2

U10 = 2 + 18

U10 = 20

maka suku kesepuluh adalah 20

apa itu Jumlah Bilangan pada Deret Aritmetika.?

misalnya suatu barisan deret aritmetika seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n. kita bisa menentukan jumlah bilangan pada deret aritmetika yang sering disimbolkan dengan S_n.

Deret Bilangan adalah jumlah yang ditunjuk oleh suku-suku dari suatu barisan bilangan.

Bentuk umum:

Sn = U1 +U2 + U3 + U4 + .... + U_n

_{Sn = $\frac{n}{2}$ [a + U_n]}

Sn = $\frac{n}{2}$ [2a + (n -1)b]

Keterangan :

a = suku pertama

b = beda

Un = suku ke n

n = bilangan bulat

contoh soal 1

deret dari barisan 1, 3, 5,7 ..... tentukanlah jumlah 10 suku dari deret.

penyelesaian:

a = 1

n = 10

b = U2 - U1 = 3 - 1 = 2

Sn =

$\frac{n}{2}$ [2a + (n-1)b]

Sn =

$\frac{10}{2}$ [2 x 1 + (10-1)2]

Sn = 5 x (2 + 9 x 2)

Sn = 5 x (2 + 18)

Sn = 5 x 20

Sn = 100

maka jumlah 10 suku pertama dari deret adalah 100

apa itu Suku Tengah pada Deret Aritmetika.?

misalnya suatu barisan deret aritmetika seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n. kita bisa menentukan suku tengah pada deret aritmetika yang sering disimbolkan dengan Ut (suku tengah).

Bentuk umum:

_{Ut = $\frac{1}{2}$ [a + U_n]}

Ut = $\frac{1}{2}$ [2a + (n-1)b]

Keterangan :

a = suku pertama

b = beda

Un = suku ke n

n = bilangan bulat

Ut = suku tengah dari deret aritmetika.

contoh soal 1

deret dari barisan 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 tentukanlah suku tengah dari deret.

penyelesaian:

a = 6

n = 15

b = U2 - U1 = 8 - 6 = 2

Ut =

$\frac{1}{2}$ [2a + (n-1)b]

Ut =

$\frac{1}{2}$ [2 x 6 + (15-1)2]

Ut =

$\frac{1}{2}$ [12 + (14)2]

Ut =

$\frac{1}{2}$ x (12 + 28)

Ut =

$\frac{1}{2}$ x (40)

Ut = 20

maka suku tengah deret adalah 20.

atau dengan cara lain :

a = 6

Un = 34

Ut =

$\frac{1}{2}$ [a + U_n]

Ut =

$\frac{1}{2}$ [6 + 34]

Ut =

$\frac{1}{2}$ [40]

Ut = 20

maka suku tengah deret adalah 20

Barisan Geometri

apa itu Barisan Geometri.?

Baca Juga

pada materi diatas kita sudah membahas tenteng deret aritmetika, nah sekarang kita akan mempelajari barisan geometri. deret aritmetika dan barisan geometri sama-sama memiliki beda yang tetap. hanya kedua barisan tersebut memiliki pola yang berbeda dimana pada deret aritmetika beda dari setiap suku barisan deret bersifat operasi penjumlahan, sedangkan pada barisan geometri beda dari setiap suku barisan deret bersifat operasi pembagian atau sering disebut rasio (r). apa itu barisan geometri, barisan geometri adalah sebuah barisan bilangan yang memiliki rasio (r). rasio sama dengan perbandingan suku kedua dengan pertama, suku ketiga dengan kedua, dan seterusnya. pada materi barisan geometri ini kita akan mengurai tentang:

1. Rasio (pembagi) dilambangkan dengan r

2. Suku ke-n (Un)

3. jumlah barisan geometri

4. suku tengah barisan geometri

apa itu rasio Pada Barisan Geometri.?

dari barisan deret geometri seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n kita bisa menentukan hubungan dari rasio setiap suku, ingat bahwa rasio sama dengan perbandingan suku kedua dengan pertama, suku ketiga dengan kedua, dan seterusnya. sehingga dapat kita rumuskan bahwa

misalnya sebuah barisan geometri U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n

suku pertama sering dilambangkan dengan a.

a= U1

sehingga dari pola diatas bahwa rasio setiap suku sama maka dapat rumuskan:

rasio = $\frac{U2}{U1}$

contoh soal 1

3, 6, 12, 24, 48 buktikanlah bahwa rasio setiap suku sama

penyelesaian:

U1 = 3, U2 = 6, U3 = 12, U4 = 24, U5 = 48

Maka rasio:

r =

$\frac{U2}{U1}$

r =

$\frac{U2}{U1}$ =

$\frac{U3}{U2}$ =

$\frac{U4}{U3}$

r =

$\frac{6}{3}$ =

$\frac{12}{6}$ =

$\frac{24}{12}$

r = 2

jadi terbukti bahwa rasio setiap suku sama

apa itu suku ke-n Pada Barisan Geometri.?

dari barisan deret geometri seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n kita bisa menentukan suku ke-n pada barisan geometri.

misalnya sebuah barisan geometri U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n

suku pertama sering dilambangkan dengan a.

a= U1

sehingga dari pola diatas bahwa Suku ke-n (Un) dapat rumuskan:

Un = ar^n-1

Keterangan:

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

contoh soal 1

dari deret 1 + 10 + 100 + ....... tentukanlah U6

penyelesaian:

a = 1

n = 10

r =

$\frac{U2}{U1}$

r =

$\frac{10}{1}$ = 10

Un = ar^n-1

U6 = 1 x 10^6-1

U6 = 1 x 10⁵

U6 = 100.000

apa itu jumlah Pada Barisan Geometri.?

dari barisan deret geometri seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n. jumlah pada barisan geometri adalah jumlah sekumpulan bilangan yang telah diurutkan menurut suatu aturan terttentu. kita bisa menentukan jumlah barisan geometri yang sering dilambangkan dengan Sn.

misalnya sebuah barisan geometri U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n

suku pertama sering dilambangkan dengan a.

a= U1

sehingga dari pola diatas bahwa jumlah barisan geometri dapat kita rumuskan:

Sn = $\frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ ... jika r > 1
Sn = $\frac{a(1 - r^n)}{1-r}$ ... jika r < 1

Keterangan:

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

contoh soal 1

tentukan nilai S₅ dari deret 2 + 6 + 18 + 54 + 162

penyelesaian:

a = 2

n = 5

r =

$\frac{U2}{U1}$

r =

$\frac{6}{2}$ = 3

S₅ =

$\frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

S₅ =

$\frac{2(3^5 - 1)}{3-1}$

S₅ =

$\frac{2(343 - 1)}{2}$

S₅=242

apa itu suku tengah Pada Barisan Geometri.?

dari barisan deret geometri seperti U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n. kita bisa menentukan suku tengah pada barisan geometri yang sering dilambangkan dengan Ut.

misalnya sebuah barisan geometri U1, U2, U3, U4, U5, U6, U7, U8, ....... U_n-1, U_n

suku pertama sering dilambangkan dengan a.

a= U1

sehingga dari pola diatas bahwa suku tengah barisan geometri dapat kita rumuskan:

Ut = $\sqrt{a.U_n }$

Keterangan:

a = suku pertama

r = rasio

n = banyaknya suku

contoh soal 1

tentukan suku tengah dari deret 2 + 6 + 18 + 54 + 162

penyelesaian:

a = 2

n = 5

r = 6 : 2 = 3

Un = ar^n-1

U6 = 2 x 3^5-1

U6 = 2 x 3⁴

U6 = 2 x 81

U6 = 162

Ut =

$\sqrt{a.U_n }$

Ut =

$\sqrt{a.U_6 }$

Ut =

$\sqrt{324 }$

Ut = 18

apa itu Deret Geometri tak hingga?

deret geometri tak hingga merupakan deret yang banyak suku-sukunya disebut deret tak hingga.Deret geometri tak hingga terbagi menjadi dua, yakni konvergen dan divergen. jika deret itu hingga maka deretnya disebut konvergen dan jika deretnya tak hingga maka disebut divergen.

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen Adalah sebuah deret yang memusat atau menuju ke satu titik tertentu (konvergen).

Kekonvergenan deret geometri tak hingga bisa kita tentukan dari rasionya apabila Deret geometri tak hingga Konvergen jika -1 < r < 1, maka dia punya jumlah.

Deret geometri tak hingga divergen

Adalah sebuah deret yang menyebar, bisa konstan, atau berisolasi. Dia tidak Deret geometri tak hingga divergen menuju ke satu titik tertentu. Deret geometri tak hingga divergen kebalikan dari Deret Geometri Tak Hingga Konvergen. Deret geometri tak hingga dikatakan divergen jika r ≤ atau r ≥ 1

Keterangan:

a = suku pertama

r = rasio

sehingga rumus barisan deret tak hingga dapat kita rumuskan:

_∞ = $\frac{a}{1-r}$

contoh soal 1

tentukan jumlah suku-suku deret geometri takhingga 1 +

$\frac{1}{2}$ +

$\frac{1}{4}$ +

$\frac{1}{8}$ +

$\frac{1}{16}$ + ....

penyelesaian:

a = 1

r =

$\frac{U2}{U1}$ =

$\frac{\frac{1}{2}}{1}$

S_∞ =

$\frac{a}{1-r}$

S_∞ =

$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$

S_∞ =

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

S_∞ = 2

Kumpulan Soal Deret Aritmetika dan Barisan Geometri

Pembahasan Soal Deret Aritmetika dan Barisan Geometri :

contoh soal 1

tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari deret aritmetika 2, 6, 10, ......

penyelesaian:

a = 2

n = 8

b = U2 - U1 = 6 - 2 = 4

Sn =

$\frac{n}{2}$ [2a + (n-1)b]

S₈ =

$\frac{8}{2}$ [2 x 2 + (8 -1)4]

S₈ = 4 x (4 + 7 x 4)

S₈ = 4 x (4 + 28)

S₈ = 4 x 32

S₈ = 128

maka jumlah 10 suku pertama dari deret adalah 128

contoh soal 2

diketahui barisan aritmetika 5, 8, 11, ...., 125, 128, 131. tentukan suku tengahnya.

penyelesaian:

a = 5

Un = 131

Ut =

$\frac{1}{2}$ [a + U_n]

Ut =

$\frac{1}{2}$ [5 + 131]

Ut =

$\frac{1}{2}$ x (136)

Ut = 68

maka suku tengah deret adalah 68

contoh soal 3

diketahui bahwa jumlah n suku pertama deret hitung 1 + 3 + 5 + 7 + .... adalah 225, maka suku ke-n adalah

penyelesaian:

a = 1

n = ...?

b = U2 - U1 = 3 - 1 = 2

Sn = 225

Sn =

$\frac{n}{2}$ [2a + (n-1)b]

225 =

$\frac{n}{2}$ [2 x 1 + (n-1)2]

225 = n (1 + (n-1))

225 = n + n²-n

n²= 225

n = 15

maka Un..?

Un= a + (n-1) b

Un= 1 + (15-1)2

Un = 1 + 14 x 2

Un = 1 + 28

Un = 29

haria1agus

Deret Aritmetika dan Barisan Geometri

Deret Aritmetika

apa itu Deret Aritmetika .?

apa itu Beda Pada Deret Aritmetika.?

apa itu Suku Ke-n pada Deret Aritmetika.?

apa itu Jumlah Bilangan pada Deret Aritmetika.?

apa itu Suku Tengah pada Deret Aritmetika.?

Barisan Geometri

apa itu Barisan Geometri.?

apa itu rasio Pada Barisan Geometri.?

apa itu suku ke-n Pada Barisan Geometri.?

apa itu jumlah Pada Barisan Geometri.?

apa itu suku tengah Pada Barisan Geometri.?

apa itu Deret Geometri tak hingga?

Kumpulan Soal Deret Aritmetika dan Barisan Geometri

Post a Comment for "Deret Aritmetika dan Barisan Geometri"