Himpunan Matematika Kelas 7 SMP

Selamat Datang pada Materi Himpunan Matematika Kelas 7 SMP 

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai materi Himpunan Matematika kelas 7 SMP. sebelumnya kita sudah belajar bagaimana cara menggambar kurva diagram venn himpunan matematika. Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Daftar Isi

1. Pengertian Himpunan
2. Notasi dan Anggota Himpunan
3. Menyatakan Suatu Himpunan
4. Jenis-Jenis Himpunan
5. Himpunan Bagian
6. Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
7. Irisan Dua Himpunan
8. Kedua Himpunan Sama
9. Gabungan Dua Himpunan
10. Selisih (Difference) Dua Himpunan
11. Komplemen Suatu Himpunan
12. Penutup

Pengertian Himpunan

Perhatikan lingkungan sekitar kalian. Pasti dengan mudah kalian dapat menemukan kumpulan atau kelompok berikut ini.

a. Kumpulan hewan berkaki dua.

b. Kumpulan hewan berkaki empat.

c. Kelompok warna lalu lintas.

Kumpulan hewan berkaki dua antara lain ayam, itik, dan burung. Kumpulan hewan berkaki dua adalah suatu himpunan, karena setiap disebut hewan berkaki dua, maka hewan tersebut pasti termasuk dalam kumpulan tersebut. Kumpulan hewan berkaki empat adalah gajah, kucing, tikus, jerapah, dll. Kumpulan warna lampu lalu lintas adalah suatu himpunan, karena dengan jelas dapat ditentukan anggotanya.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Tugas Di Rumah

1. Kumpulan-kumpulan berikut ini, nyatakan “dapat” atau membentuk suatu himpunan.
a. kumpulan nama-nama binatang yang diawali dengan awalan nama huruf B.
b. kumpulan binatang yang hidup di air
c. kumpulan binatang yang bisa terbang
d. kumpulan nama-nama pohon
e. kumpulan bilangan genap antara 1 dan 10.
f. kumpulan bilangan prima kurang dari 20.
g.kumpulan nama-nama hari.

Notasi dan Anggota Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan ϵ. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan ∉.

contoh soal: 

A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 20, sehingga A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ddan 19 adalah anggota atau elemen dari himpunan A, ditulis 2 ϵ A, 3 ϵ A, 5 ϵ A, 7 ϵ A, 11 ϵ A, 13 ϵ A, 17 ϵ A dan 19 ϵ A. Karena 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18 dan ditulis 1 ∉ A, 4 ∉ A, 6 ∉ A, 8 ∉ A, 9 ∉ A, 10 ∉ A, 12 ∉ A, 14 ∉ A, 15 ∉ A, 16 ∉ A dan 18 ∉ A.

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n. Jika A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 8.

Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A)

Dalam matematika, beberapa huruf besar digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu, di antaranya sebagai berikut.

Huruf A : lambang himpunan bilangan asli. A = {1, 2, 3, 4, ... }

Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat. B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah. C = {0, 1, 2, 3, ... } 

Tugas di Rumah

Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.

a. A adalah himpunan nama-nama hari dalam seminggu.
b. M adalah himpunan binatang pemakan rumput.
c. N adalah himpunan bilangan ganjil kurang dari 15.
d. B adalah himpunan planet-planet dalam tata surya.

Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

a. dengan kata-kata. 

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh: P adalah himpunan bilangan ganjil antara 15 dan 30,

ditulis P = {bilangan ganjil antara 15 dan 30}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan. 

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh: P : {bilangan ganjil antara 15 dan 30}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {15 < x < 30, x ϵ bilangan ganjil}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya. 

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.misalnya

P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

contoh soal 1

A adalah himpunan bilangan genap antara 2 dan 18. Nyatakan himpunan A dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Penyelesaian:

A adalah himpunan bilangan genap antara 2 dan 18.

i). Dinyatakan dengan kata-kata.

A = {himpunan bilangan genap antara 2 dan 18}

ii). Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan.

A = {2 < x < 18, x ϵ  bilangan genap}

iii). Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya.

A = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}.

Jenis-Jenis Himpunan

Jenis-Jenis Himpunan terbagi atas empat bagian:

i). Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang mengandung yang mengandung semua anggota himpunan yang sedang bicarakan. himpunan semesta umumnya dinyatakan dengan S. Anggota himpunan semesta dapat terhingga atau tak terhingga.

misalnya A = {0, 1, 3, 5, 6} dan B = { 2, 4, 6, 8}. tentukan himpunan semesta yang mungkin..?

penyelesaian:

maka himpunan semesta S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

ii). Himpunan Kosong

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. himpunan dinotasikan dengan { } atau Ø.

contoh pernyataan yang merupakan himpunan kosong:

- himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua

iii). Himpunan Terhingga

himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya terhingga.

contoh himpunan terhingga:

- A = { 2, 3, 5}

- B = {xǀ x bilangan asli yang lebih kecil dari 10}

- C = {xǀ x bilangan cacah yang lebih kecil atau sama dengan 20}

iv). Himpunan Tak Terhingga

himpunan tak terhingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak terhingga.

contoh himpunan tak terhingga:

- A = { 1, 2, 3, .......}

- B = {xǀ x bilangan asli}

- C = {xǀ x bilangan cacah}

Himpunan Bagian

i). himpunan bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.

Agar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian,

perhatikan himpunan-himpunan berikut.

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 6}

Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, ditulis A ⊂ C atau C ⊃ A.

ii). himpunan bukan bagian

Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C.

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 5}

Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6 ∉ C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis B ⊄ C. (B ⊄ C dibaca: B bukan himpunan bagian dari C). Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B, dan dinotasikan A ⊄ B.

Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan

Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2ⁿ, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut.

Himpunan bagian dari {a, b, c, d} yang mempunyai

0 anggota ada 1, yaitu { };

1 anggota ada 4, yaitu {a}, {b}, {c}, {d};

2 anggota ada 6, yaitu {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d};

3 anggota ada 4, yaitu {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d};

4 anggota ada 1, yaitu {a, b, c, d};

jadi banyaknya himpunan bagian dari himpunan {a, b, c, d} = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Cobalah hal ini untuk {a, b, c, d}. Kemudian, cek apakah banyak semua himpunan dari {a, b, c, d} adalah 16 dengan menggunakan rumus 2ⁿ?

n = 4

banyaknya anggota himpunan dari {a, b, c, d} = 2ⁿ

banyaknya anggota himpunan dari {a, b, c, d} = 2⁴

banyaknya anggota himpunan dari {a, b, c, d} = 2 x 2 x 2 x 2

banyaknya anggota himpunan dari {a, b, c, d} = 16

Irisan Dua Himpunan

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut.
A ∩ B = {x | x ϵ A dan x ϵ B}

contoh soal 1

Misalkan A = {1, 3, 5, 7 , 9} dan B = {2, 3, 5, 7 } 
penyelesaian:
Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}. Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B. Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua himpunan, dinotasikan dengan ∩ ( ∩ dibaca: irisan atau
interseksi). Jadi, A ∩ B = {3, 5, 7}.

contoh soal 2:

Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

penyelesaian:

Irisan dari himpunan A dan B adalah A ∩ B = {1, 3, 5} = A.

Tampak bahwa A = {1, 3, 5} ⊂ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

kesimpulan:

Jika A ⊂ B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.

Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A.

Kedua Himpunan Sama

materi diatas kita telah pelajari bahwa dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi anggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B.

Jika A = B maka A ∩ B = A atau A ∩ B = B.

Misalkan A = {bilangan asli kurang dari 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan anggota A = B maka A ∩ B = A atau A ∩ B = B.

Gabungan Dua Himpunan

Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B

dituliskan sebagai berikut :

A U B = {x | x ϵ A atau x ϵ B}

Catatan: A U B dibaca A gabungan B atau A union B.

contoh soal 1:

Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.

Perhatikan bahwa A = {3, 5} ⊂ B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga

A U B = {1, 2, 3, 4, 5} = B.

Jika A U B maka A U B = B.

contoh soal 2:

misalkan P = {2, 3, 5, 7, 11} dan Q = {1, 4, 6} tentukan P U Q..?

penyelesaian:

P = {2, 3, 5, 7, 11}

Q = {1, 4, 6} 

P U Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}

Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\B.

Catatan:

A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

A – B = {x | x ϵ A, x ∉ B}

B – A = {x | x ϵ B, x ∉ A}

Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.

Selisih A dan B adalah :

A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} = {b, d}, 

sedangkan selisih B dan A adalah :

B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}.

Komplemen Suatu Himpunan

Agar kalian dapat memahami mengenai komplemen suatu himpunan, coba ingat kembali pengertian himpunan semesta atau semesta pembicaraan.

Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A.

Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.

Aᶜ = {x | x ϵ S dan x ∉ A}

misalkan:

Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta dan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalah Aᶜ = {1, 2, 6, 7}.

Komplemen A dinotasikan dengan Aᶜ atau A' (Aᶜ atau A' dibaca: komplemen A).

Penutup

Demikian penjelasan tentang Himpunan Matematika Kelas 7 SMP, Himpunan Matematika Kelas 7 SMP merupakan bagian dari aljabar matematika mulai dari pengertian, unsur, hingga operasi hitungnya. ini penting untuk dipelajari terutama bagi siswa yang bercita-cita ingin menekuni bidang eksat  atau keperguruan tinggi karena akan ada banyak materi yang menerapkan aljabar.

silahkan kunjungi artikel terkait tentang Himpunan Matematika :