Bank Soal Latihan Lengkap Persamaan Lingkaran

 

Bentuk-Bentuk Persamaan Lingkaran

Secara Umum Bentuk Persamaan Lingkaran terbagi atas tiga bagian:
● Persamaan Lingkaran dalam bentuk x²+ y² = r²
● Persamaan Lingkaran dalam bentuk (x-a)² + (y-b)² = r²
● Persamaan Lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0

Bentuk-Bentuk Persamaan Lingkaran |*Baca Lebih Lengkap*

---

● secara umum bentuk khusus persamaan lingkaran yang melewati titik pusat P(0,0) bentuk persamaannya menjadi x² + y² = r² secara khusus persamaan lingkaran: (x-a)² + (y-b)² = r²
pembuktian:
jika titik pusat P(0,0) dan r. maka persamaan lingkarannya menjadi:
keterangan:
a = 0, b = 0, r = r
(x-a)² + (y-b)² = r²
(x-0)² + (y-0)² = r²
x² + y² = r²
x² + y² = r² jadi terbukti jika titik pusatnya p(0,0)

---

● persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r dapat dibentuk persamaan lingkaran menjadi (x-a)2 + (y-b)2 = r2 .bentuk persamaan ini dinakaman bentuk khusus persamaan lingkaran.

---

● Persamaan Lingkaran dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0
keterangan:
hasil penjabaran dari (x-a)² + (y-b)² = r² akan membentuk bentuk umum persamaan lingkaran dapat dijabarkan menjadi:
(x-a)² + (y-b)² = r²
(x – a) (x – a) + (y – b) (y – b) = r²
x² – ax – ax + a² + y² – by – by + b²= r²
x² – ²ax + a² + y² – ²by - r² = 0
x² + y² – ²ax – ²by + a² + b² - r² = 0
maka dilakukan pemisalan dimana
A = -²a
B = -²b
C = a² + b² - r²
sehingga bentuk umum persamaan lingkaran:
x² + y² + Ax + By + C = 0.
bentuk umum dari persamaan lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0.

Sifat-Sifat Garis Lingkaran

jika D > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik

jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran

jika D < 0, maka garis tidak memotong lingkaran

garis dan lingkaran yang memiliki posisi atau terletak pada satu bidang memiliki tiga sifat yaitu akan berpotongan, bersinggungan, atau tidak berpotongan. dari ketiga sifat garis lingkaran dapat diselidiki dengan cara menggunakan gradien garis. misalnya persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0 dan persamaan garis adalah y = px + q, jika persamaan garis disubstitusikan kedalam persamaan lingkaran akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat yaitu: (1 + $p^{2}$)$x^{2}$ + (A + 2pq + Bp)x + C + Bq + $q^{2}$ = 0. dari persamaan ini didapat menjadi m$x^{2}$ + nx + k = 0.

Sifat-Sifat Garis Lingkaran |*Baca Lebih Lengkap* 

untuk menerapkan rumus diatas masih ingat bentuk umum persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0. dan diskriminannya D = $b^{2}$ - 4ac.
jika persamaan bentuk lain m$x^{2}$ + nx + k = 0.
diketahui:
a = m
b = n
c = k
maka
D = $b^{2}$ - 4ac.
D = $n^{2}$ - 4mk.
sehingga dapat diberikan kesimpulan mengenai garis lingkaran yaitu:
jika D > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik
jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran
jika D < 0, maka garis tidak memotong lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

sifat-sifat persamaan garis singgung lingkaran:
● garis singgung lingkaran pada $x^{2}$ + $y^{2}$ = $r^{2}$
● garis singgung lingkaran pada $(x-a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$
● garis singgung lingkaran pada $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0

Persamaan Garis Singgung Lingkaran |*Baca Lebih Lengkap*

---

● Persamaan Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ = $r^{2}$ dengan titik singgung (p,q) memiliki persamaan garis singgung lingkaran px + qy = $r^{2}$

---

● Persamaan Lingkaran $(x-a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$ dengan titik singgung (p,q) memiliki persamaan garis singgung lingkaran (p-a)(x-a) + (q-b)(y-b) = $r^{2}$

---

● Persamaan Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0 dengan titik singgung (p,q) memiliki persamaan garis singgung lingkaran px + qy+ $\frac{1}{2}$A(x+p) + $\frac{1}{2}$B(y+q) + C = 0

Kedudukan Dua Lingkaran:

secara umum Kedudukan Dua Lingkaran terbagi atas lima bagian:
● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Lepas
● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
● Kedudukan Dua Lingkaran Didalam Lingkaran

● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Berpotongan

Kedudukan Dua Lingkaran |*Baca Lebih Lengkap*

D = Jarak titik pusat kedua lingkaran
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$

---

● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Lepas
keterangan:
$r_{1}$ = jari-jari persamaan lingkaran pertama
$r_{2}$ = jari-jari persamaan lingkaran kedua
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Lepas apabila:
D > $r_{1}$ + $r_{2}$

---

● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
keterangan:
$r_{1}$ = jari-jari persamaan lingkaran pertama
$r_{2}$ = jari-jari persamaan lingkaran kedua
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Bersinggungan diluar Lingkaran apabila:
D = $r_{1}$ + $r_{2}$\

---

● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
keterangan:
R = jari-jari persamaan lingkaran Besar
r = jari-jari persamaan lingkaran Kecil
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Bersinggungan didalam Lingkaran apabila:
D = R - r

---

● Kedudukan Dua Lingkaran Didalam Lingkaran
keterangan:
R = jari-jari persamaan lingkaran Besar
r = jari-jari persamaan lingkaran Kecil
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Bersinggungan didalam Lingkaran apabila:
D < R - r

---

● Kedudukan Dua Lingkaran Saling Berpotongan
keterangan:
R = jari-jari persamaan lingkaran Besar
r = jari-jari persamaan lingkaran Kecil
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Berpotongan
R-r < D < R + r

Bank Soal Latihan Lengkap Persamaan Lingkaran

---

1. persamaan lingkaran berpusat di (3, 5) dan menyinggung sumbu x adalah ..
a. x² + y² - 6x - 10y + 9 = 0
b. x² + y² + 6x + 10y + 9 = 0
c. x² + y² - 6x - 10y + 25 = 0
d. x² + y² + 6x + 10y + 25 = 0
e. x² + y² + 10x + 6y + 25 = 0

penyelesaian:
pusat (3,5) → a = 3; b = 5
r (jari-jari) = 5
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 3)² + (y - 5)² = 5²
x² - 6x + 9 + y² - 10y + 25 = 25
x² + y² - 6x - 10y + 9 + 25 - 25 = 0
x² + y² - 6x - 10y + 9 = 0

---

2. persamaan yang lingkaran berpusat di (-4, 2) dan menyinggung sumbu y adalah ..
a. x² + y² + 8x - 4y + 16 = 0
b. x² + y² - 8x + 4y + 16 = 0
c. x² + y² + 8x - 4y + 4 = 0
d. x² + y² + 8x + 4y + 4 = 0
e. x² + y² - 8x + 4y + 4 = 0

penyelesaian:
pusat (-4, 2) → a = -4; b = 2
r (jari-jari) = 2
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - (-4))² + (y - 2)² = 2²
(x + 4)² + (y - 2)² = 2²
x² + 8x + 16 + y² - 4y + 4 = 4
x² + 8x + 16 + y² - 4y + 4 - 4 = 0
x² + y² + 8x - 4y + 16 = 0

---

3. persamaan yang lingkaran berpusat di (2, 3) dan menyinggung garis y - 7 = 0 adalah ..
a. x² + y² - 4x - 6y + 7 = 0
b. x² + y² + 4x - 6y + 4 = 0
c. x² + y² + 4x + 6y + 4 = 0
d. x² + y² + 4x + 6y - 3 = 0
e. x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

penyelesaian:
pusat (2, 3) → a = 2; b = 3
y - 7 = 0
r = 7 - 3
r = 4
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 2)² + (y - 3)² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 16
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 - 16 = 0
x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

---

4. persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 2) dan menyinggung garis y = x adalah ..

a. x² + y² - 2x + 4y - 4$\frac {1}{2}$ = 0

b. x² + y² - 2x - 4y - 4$\frac {1}{2}$ = 0

c. x² + y² - 2x - 4y + 4$\frac {1}{2}$ = 0

d. x² + y² + 2x + 4y + 4$\frac {1}{2}$ = 0

e. x² + y² - 2x + 4y + 4$\frac {1}{2}$ = 0

penyelesaian:
misalnya jari-jari = r
pusat lingkaran (1, 2) → a = 1; b = 2
garis y = x;
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 1)² + (y - 2)² = r²
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 - r² = 0
x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 - r² = 0
x² + y² - 2x - 4y + 5 - r² = 0 .... karena garis y = x;
x² - 2x + 1 + x² - 4x + 4 - r² = 0
2x² - 6x + 5 - r² = 0
karena bersinggungan, maka D = 0
D = (-6)² - 4.2. (5 - r²)
0 = 36 - 40 + 8r²
0 = -4 + 8r²
8r² = 4
r² = 4/8
r² = $\frac {1}{2}$
maka persamaan lingkaran:
x² + y² - 2x - 4y + 5 - r² = 0
x² + y² - 2x - 4y + 5 - $\frac {1}{2}$ = 0
x² + y² - 2x - 4y + $\frac {10-1}{2}$ = 0
x² + y² - 2x - 4y + 4$\frac {1}{2}$ = 0

---

5. lingkaran x² + y² - 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu X untuk a sama dengan ...

a. 7 dan -7

b. 2 dan -2

c. -6 dan 6

d. -3 dan 3

e. 5 dan -5

penyelesaian:
lingkaran: x² + y² - 2ax + 6y + 49 = 0
sumbu X : y = 0
x² + 0² - 2ax + 6.0 + 49 = 0
x² - 2ax + 49 = 0
lingkaran bersinggungan dengan garis, maka D = 0
D = b² - 4ac
D = (2a)² - 4(1)(49)
4(1)(49) = 4a²
a² = 49
a = $\sqrt{49}$
a = ±7

---

6. diketahui persamaan suatu lengkungan (x - p)² + (y - p)² = 25. supaya lengkungan ini menyinggung sumbu X, haruslah ..

a. p = 25

b. q = 25

c. q = 5 atau q = -5

d. p = 5 atau q = -5

e. p² + q² = 25

penyelesaian:
lengkungan (x - p)² + (y - p)² = 25 merupakan lingkaran dengan pusat (p, q). lingkaran menyinggung sumbu X maka r = |q|
r = |q|
|q| = 5 maka:
q = 5 dan q = -5

---

7. persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y dengan jari-jari 2 adalah ..

i). (x - 2)² + (y - 2)² = 4

ii).(x - 2)² + (y - 2)² = 4

iii).(x + 2)² + (y - 2)² = 4

iv).(x + 2)² + (y - 2)² = 4

a. i, ii dan iii pernyataan salah

b. i, ii dan iii pernyataan benar

c. i, ii dan iv pernyataan benar

d. i, ii dan iv pernyataan benar

e. i, ii, iii dan iv pernyataan benar

penyelesaian:
kunci jawaban e

---

8. empat lingkaran berjari-jari satu satuan saling bersinggungan di sumbu koordinat (lihat gambar). dilukis lingkaran M yang berpusat di titik asal O dan menyinggung keempat lingkaran tadi. persamaan lingkaran M ialah .....

a. x² + y² = 4

b. x² + y² = 8

c. x² + y² = 3 + 2√2

d. x² + y² = 6 + 4√2

d. x² + y² = 9 + 4√2

penyelesaian:
lingkaran M berpusat di (0, 0) dan jari-jari O.
OB = OA + AB
OB = $\sqrt{1^2+1^2}$ + 1
OB = $\sqrt{2}$ + 1
persamaan lingkaran M adalah ...
x² + y² = OB²
x² + y² = ($\sqrt{2}$ + 1)²
x² + y² = 2 + 2√2 + 1
x² + y² = 3 + 2√2

---

9. pusat lingkaran 3x² + 3y² - 4x + 6y - 12 = 0 adalah ..

a. (2, 1)

b. (5, 9)

c. (2, 3)

d. (1/3, 5)

e. (2/3, -1)

penyelesaian:
3x² + 3y² - 4x + 6y - 12 = 0 kedua ruas dibagi 1/3
x² + y² - 4x/3 + 2y - 4 = 0
diketahuai: A = -4/3 dan B = 2
a =$\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$.$\frac {-4}{3}$ = $\frac {2}{3}$
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$2 = -1
pusat (a, b) → (2/3, -1)

---

10. sebuah titik A bergerak sedemikian sehingga jaraknya terhadap Q(0,0) senantiasa sama dengan dua kali jaraknya terhadap titik B(3, 0). tempat kedudukan titik A ini ialah lingkaran yang berpusat pada P dan mempunyai jari-jari r dengan ..

a. P(4,0) dan r = 4

b. P(4, 0) dan r = 2

c. P(0, 4) dan r = 2

d. P(0, 4) dan r = 4

e. P(-4, 0) dan r = 4

penyelesaian:
O(0,0); B(3,0)
misalnya: A(x, y)
OA = 2AB
maka:
$\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}$ = 2$\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2}$
$\sqrt{x^2 + y^2}$ = 2$\sqrt{(x - 3)^2 + y^2}$ ...kedua ruas dikuadratkan
x² + y² = 4[(x-3)² + y²]
x² + y² = 4[x² -6x + 9 + y²]
x² + y² = 4x² - 24x + 36 + 4y²
0 = 4x² - x² - 24x + 36 + 4y² - y²
0 = 3x² - 24x + 36 + 3y² kedua ruas dibagi 1/3
0 = x² - 8x + 12 + y²
jadi, persamaan lingkaran x² + y² - 8x + 12 = 0
diketahuai: A = -8 dan B = 0
a =$\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$.-8 = 4
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$.0 = 0
pusat (a, b) → (4, 0)
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt{4^2 + (0)^2 - 12}$
r = $\sqrt{16 + 0 - 12}$
r = $\sqrt{16 - 12}$
r = $\sqrt{4}$
r = 2

---

11. persamaan lingkaran berpusat di titik (2, 3) yang melalui (5, -1) adalah ...

a. x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

b. x² + y² - 4x - 6y - 25 = 0

c. x² + y² - 4x - 6y - 13 = 0

d. x² + y² - 2x - 3y - 10 = 0

e. x² + y² + 2x + 3y + 25 = 0

penyelesaian:
pusat (2, 3); misalnya jari-jari = r
persamaan lingkaran adalah :
(x - 2)² + (y - 3)² = r²
lingkaran melalui (5, -1)
(5 - 2)² + (-1 - 3)² = r²
(3)² + (-4)² = r²
9 + 16 = r²
r² = 25
r = $\sqrt{25}$
r = 5
persamaan lingkaran menjadi:
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 2)² + (y - 3)² = 5²
x² - 4x + 4 + y² - 6y + 9 = 25
x² + y² - 4x - 6y + 13 - 25 = 0
x² + y² - 4x - 6y - 12 = 0

---

12. diketahui titik A(-2, 1) dan B(4, -3) jika titik P(x, y) terletak sedemikian sehingga (PA)² + (PB)² = (AB)², maka P merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu X adalah ..

a. x = 2√3 + 1 dan x = 2√3 - 1

b. x = 2√3 + 1 dan x = -2√3 + 1

c. x = 2√3 - 1 dan x = -2√3 - 1

d. x = 2√3 - 1 dan x = -2√3 - 1

e. x = -2√3 - 1 dan x = -2√3 - 1

penyelesaian:
A(-2, 1) dan B(4, -3) jika titik P(x, y)
(PA)² + (PB)² = (AB)²
(x + y)² + (y - 1)² + (x - 4)² + (y + 3)² = (4 + 2)² + (-3 - 1)²
x² + 4x + 4 + y² - 2y + 1 + x² - 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 36 + 16
2x² + 2y² - 4x + 4y - 22 = 0
x² + y² - 2x + 2y - 11 = 0
memotong sumbu X, maka y = 0
x² + 0² - 2x + 2.0 - 11 = 0
x² - 2x + - 11 = 0
(x - 1)² - 1 - 11 = 0
(x - 1)² - 12 = 0
(x - 1)² = 12
x - 1 = ±√12
x = 1 ± √12
maka : x1 = 1 - √12 atau x2 = 1 + √12
maka : x1 = 1 - 2√3 atau x2 = 1 + 2√3

---

13. persamaan garis singgung di titik (-3, 4) pada lingkaran x² + y² = 25 adalah ...

a. y = $\frac {4x}{3}$ - $\frac {25}{3}$

b. y = $\frac {-4x}{3}$ + $\frac {25}{3}$

c. y = $\frac {-3x}{4}$ + $\frac {25}{4}$

d. y = $\frac {3x}{4}$ - $\frac {25}{4}$

e. y = $\frac {3x}{4}$ + $\frac {25}{4}$

penyelesaian:
persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = r² pada titik singgung(x₁, y₁) adalah x.x₁ + y.y₁ = r²
lingkaran x² + y² = 25 dan titik singgungnya (-3, 4), maka persamaan garis singgungnya adalah -3x + 4y = 25 atau
y = $\frac {3x}{4}$ + $\frac {25}{4}$.

---

14. persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 adalah ...

a. 3x + 4y - 19 = 0

b. 3x - 4y - 19 = 0

c. 4x - 3y + 19 = 0

d. x + 7y - 26 = 0

e. x - 7y - 26 = 0

penyelesaian:
persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0 pada titik singgung (p, q) adalah:
px + qy + $\frac {1}{2}$A(x + p) + $\frac {1}{2}$B(y + q) + C = 0
lingkaran x² + y² - 4x + 6y - 12 = 0 titik singgung (5, 1) sehingga p = 5 dan q = 1.
jadi, persamaan garis singgungnya adalah:
px + qy + $\frac {1}{2}$A(x + p) + $\frac {1}{2}$B(y + q) + C = 0
5.x + 1.y + $\frac {1}{2}$(-4)(x + 5) + $\frac {1}{2}$(6)(y + 1) + (-12) = 0
5x + y + (-2)(x + 5) + (3)(y + 1) - 12 = 0
5x + y - 2x - 10 + 3y + 3 - 12 = 0
3x + 4y - 19 = 0

---

15. persamaan garis singgung lingkaran x² + y² = 25 yang dapat ditarik dari (7, 1) adalah ...

a. x - 2y = 25 dan x + 3y = 25

b. 4x - 3y = 25 dan 3x + 4y = 25

c. 2x - 4y = 25 dan 2x + 4y = 25

d. 7x + y = 25 dan 7x - y = 25

e. 7x + y = 25 dan 7x + 3y = 25

penyelesaian:
titik diluar lingkaran persamaan garis melalui (7, 1) adalah :
y - 1 = m(x -7)
garis : y = m(x - 7) + 1 .....lakukan substitus kepersmaan lingkaran
lingkaran: x² + y² = 25
x² + (m(x - 7) + 1)² = 25
(1 + m²)x² - (14m² - 2m)x + 49m² - 14m - 24 = 0
lingkaran menyinggung garis, maka D = 0
[-(14m² - 2m)² - 4(1 + m²)(49m² - 14m - 24)] = 0
12m² - 7m - 12 = 0
(4m + 3)(3m - 4) = 0
untuk m = $\frac {-3}{4}$ : garis singgungnya adalah :
y = $\frac {-3}{4}$(x - 7) + 1 ...........kedua ruas dikali x4
4y = -3(x-7) + 4
4y + 3x = 25
untuk m = 4/3: garis singgungnya adalah :
y = $\frac {4}{3}$(x - 7) + 1 a kedua ruas dikali x3
3y = 4(x - 7) + 3
3y = 4x - 28 + 3
4x - 3y - 25 = 0
4x - 3y = 25

---

16. garis yang melalui (0, 2) dan menyinggung kurva x² + y² = 25 adalah:

a. y = -x + 2

b. y = x + 1

c. y = x - 2

d. y = x - 1

e. tidak ada

penyelesaian:
kunci jawaban e
titik (0, 2) terdapat di dalam lingkaran x² + y² = 25 karena 0² + 2² < 25 karena itu tidak dapat dibuat garis singgung melalui titik.

---

17. lingkaran x² + y² - 2px + q = 0 yang mempunyai jari-jari 2 akan menyinggung garis x - y = 0. bila nilai p yang positif sama dengan...

a. 2

b. 2√2

c. 4

d. 4√2

e. 8

penyelesaian:
x² + y² - 2px + q = 0. misalanya jari-jari = r
r² = p² - q
q = p² - 2²
q = p² - 4
x² + y² - 2px + p² - 4 = 0
lingkaran menyinggung garis x - y = 0
x - y = 0 → x = y
x² + x² - 2px + p² - 4 = 0
2x² - 2px + p² - 4 = 0
garis menyinggung D = 0
D = b² - 4ac
D = (-2p)² - 4.2.(p² - 4)
0 = 4p² - 8(p² - 4)
0 = 4p² - 8p² + 32
-32 = - 4p²
p² = -32/-4
p² = 8
p = ±√8
p = ±2√2

---

18. jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x² + y² + 2x - 5y - 21 = 0, maka nilai k adalah ..

a. -1 atau -2

b. 2 atau 4

c. -1 atau 6

d. 0 atau 3

e. 1 atau -6

penyelesaian:
(-5, k) terletak pada lingkaran x² + y² + 2x - 5y - 21 = 0
-5² + k² + 2(-5) - 5k - 21 = 0
25 + k² - 10 - 5k - 21 = 0
k² - 5k - 6 = 0
(k -6) (k + 1) = 0
k₁ = 6 atau k₂ = -1

---

19. jarak terdekat antara titik (-7, 2) ke lingkaran x² + y² - 10x - 14y - 151 = 0 sama dengan ..

a. 2

b. 4

c. 3

d. 8

e. 13

penyelesaian:
R(-7, 2) jika x = -7 dan y = 2 substitusi kepers...
x² + y² - 10x - 14y - 151 = 0
-7² + 2² - 10(-7) - 14.2 - 151 = 0
49 + 4 + 70 - 28 - 151 = 0
-56 < 0
R didalam lingkaran
P($\frac {-1}{2}$A, $\frac {-1}{2}$B) → P($\frac {-1}{2}$(-10), $\frac {-1}{2}$(-14)) → (5, 7)
PQ = r
PQ = $\sqrt{5^2 + 7^2 - (-151)}$
PQ = $\sqrt{25 + 49 + 151}$
PQ = $\sqrt{225}$
PR = $\sqrt{(-7-5)^2 + (2-7)^2}$
PR = $\sqrt{(-12)^2 + (-5)^2}$
PR = $\sqrt{144 + 25}$
PR = $\sqrt{169}$
PR = 13
QR = PQ - PR = 15 - 13 = 2
jadi, jarak terdekat tersebut sama dengan 2.

---

20. persamaan garis lurus yang melalui pusat lingkaran x² + y² - 2x - 4y + 2 = 0 dan tegak lurus garis 2x - y + 3 = 0 adalah ...

a. x + 2y - 3 = 0

b. 2x + y + 1 = 0

c. x + 2y - 5 = 0

d. x - 2y -1 = 0

e. 2x - y - 1 = 0

penyelesaian:
lingkaran dengan persamaan x² + y² - 2x - 4y + 2 = 0 mempunyai pusat P($\frac {-1}{2}$(-2), $\frac {-1}{2}$(-4)) → P(1, 2). garis 2x - y + 3 = 0 mempunyai gradien $m_g$ = 2 misalnya gradien garis yang tegak lurus garis g dan melalui titik pusat lingkaran (1, 2) adalah m,
maka:
m x $m_g$ = -1
m = $\frac {-1}{2}$
persamaan garis yang melalui titik (1, 2) dengan gradien m = $\frac {-1}{2}$ adalah :
y - 2 = $\frac {-1}{2}$(x -1) ...kedua ruas di kali x 2
2y - 4 = -(x - 1)
2y - 4 = - x + 1
x + 2y - 4 - 1 = 0
x + 2y - 5 = 0

---

21. dua buah lingkaran dengan persamaan-persamaan x² + y² + 6x - 8y + 21 = 0 dan x² + y² + 10x - 8y + 25 = 0 kedua lingkaran ini ...

a. berpotongan di dua titik

b. tidak berpotongan atau bersinggungan

c. bersinggungan di luar

d. bersinggungan di dalam

e. sepusat

penyelesaian:
$L_1$ : x² + y² + 6x - 8y + 21 = 0
P($\frac {-1}{2}$(6), $\frac {-1}{2}$(-8)) → P(-3, 4)
jari-jari :
$r_1$ = $\sqrt{-3^2 + 4^2 - 21}$ = 2
x² + y² + 10x - 8y + 25 = 0
P($\frac {-1}{2}$(10), $\frac {-1}{2}$(-8)) → P(-5, 4)
jari-jari :
$r_2$ = $\sqrt{-5^2 + 4^2 - 25}$ = 4
karena : $r_2$ - $r_1$ = $r_1$ maka kedua lingkaran tersebut bersinggungan di dalam.

---

22. persamaan tali busur persekutuan (x - 3)² + y² = 16 dan x² + (y - 3)² = 16 adalah ...

a. y = -2x

b. y = -x

c. y = x

d. y = 2x

e. y = $\frac {1}{2}$

penyelesaian:
$L_1$ : (x - 3)² + y² = 16
$L_1$ : x² - 6x + 9 + y² = 16
$L_1$ : x² + y² - 6x - 7 = 0
$L_2$ : x² + (y - 3)² = 16
$L_2$ : x² + y² - 6y - 7= 0
$L_1$ - $L_2$ :
(x² + y² - 6x - 7) - (x² + y² - 6y - 7)= 0 - 0
-6x + 6y = 0
-6x = -6y
x = y

---

23. lingkaran berpusat di titik asal O dan berjari-jari 3 memotong sumbu X positif, sumbu Y positif, dan sumbu Y negatif berturut-turut di titik A, B, dan C. dibuat garis singgung di B. garis melalui CA memotong garis singgung tersebut di titik P. koordinat P ialah...

a. (3, 6)

b. (3$\frac {1}{3}$, 6)

c. (6, 3$\frac {1}{3}$)

d. (6, 3)

e. (6, 6)

penyelesaian:
garis singgung pada titi B adalah y = 3
garis h yang melalui A(3, 0) dan C(0, -3) adalah -3x + 3y = -9 atau -x + y = -3
jika y = 3
maka substitusikan persmaan -x + y = -3
-x + 3 = -3
-x = - 3 - 3
-x = -6
x = 6
jadi koordinat P(6, 3)

---

24. titik (a, b) adalah pusat lingkaran x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0. jadi, 2a + b = ...
a. 0
b. 2
c. 3
d. -1
e. -2

penyelesaian:
x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$(-2) = 1
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$(4) = -2
2a + b = 2(1) + (-2)
2a + b = 2 - 2
2a + b = 0

---

25. diketahui lingkaran x² + y² - 4x + 2y + C = 0. melalui titik A(5, -1). jari-jari lingkaran tersebut sama dengan ..
a. $\sqrt{7}$
b. 3
c. 4
d. 2$\sqrt{6}$
e.9

penyelesaian:
titik A(5, -1) lakukan substitusi kepers x² + y² - 4x + 2y + C = 0.
x² + y² - 4x + 2y + C = 0
5² + (-1)² - 4.5 + 2(-1) + C = 0
25 + 1 - 20 - 2 + C = 0
26 - 22 + C = 0
C = -4
jari-jari lingkaran: x² + y² - 4x + 2y + C = 0
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$(-4) = 2
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$(2) = -1
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)}$
r = $\sqrt{4 + 1 +4}$
r = $\sqrt{9}$
r = 3

---

26. jari-jari lingkaran pada gambar dibawah ini:

a. $\sqrt{3}$
b. 3
c. $\sqrt{13}$
d. 3$\sqrt{13}$
e. $\sqrt{37}$

penyelesaian:
persamaan garis A(0, 5) dan B(5, 0): x + y - 5 = 0
persamaan lingkaran yang melalui AB (x -5)(x - 0) + (y - 5)(y - 0) + λ(x + y - 5) = 0
melalui titik C(-1, 0)
(x -5)(x - 0) + (y - 5)(y - 0) + λ(x + y - 5) = 0
(-1 - 5)(-1 - 0) + (0 - 5)(0 - 0) + λ((-1) + 0 - 5) = 0
(-6)(-1) + 0 + λ(-6) = 0
6 -λ6 = 0
λ = $\frac {-6}{-6}$
λ = 1
persamaan lingkarannya adalah:
(x -5)(x - 0) + (y - 5)(y - 0) + λ(x + y - 5) = 0
(x -5)(x) + (y - 5)(y) + 1(x + y - 5) = 0
x² - 5x + y² - 5y + x + y - 5 = 0
x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0
persamaan lingkaran: x² + y² - 4x - 4y - 5 = 0
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$(-4) = 2
a = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$(-4) = 2
C = -5
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt{2^2 + (2)^2 - (-5)}$
r = $\sqrt{4 + 4 + 5}$
r = $\sqrt{13}$

---

27 persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-1, 3) dan berdiameter $\sqrt{40}$ adalah ....
a. x² + y² - 6x - 2y = 0
b. x² + y² + 2x + 6y = 0
c. x² + y² - 2x - 6y = 0
d. x² + y² + 2x - 6y = 0
e. x² + y² - 2x - 6y = 0

penyelesaian:
p(-1, 3) dan r = $\frac {1}{2}$d = $\frac {1}{2}$$\sqrt{40}$
persamaan lingkaran:
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - (-1))² + (y - 3)² = ($\frac {1}{2}$$\sqrt{40}$)²
(x + 1)² + (y - 3)² = $\frac {1}{4}$.40
x² + 2x + 1 + y² - 6y + 9 = 10
x² + y² + 2x - 6y = 0

---

28. lingkaran yang persamaannya x² + y² - Ax -10y + 4 = 0 menyinggung sumbu-x. nilai A yang memenuhi adalah ...
a. -8 dan 8
b. -6 dan 6
c. -5 dan 5
d. -4 dan 4
e. -2 dan 2

penyelesaian:
x² + y² - Ax -10y + 4 = 0
P($\frac {-1}{2}$A, $\frac {-1}{2}$B) →P($\frac {-1}{2}$A, $\frac {-1}{2}$(-10)) →P($\frac {-1}{2}$A, 5)
karena menyinggung sumbu x maka r = 5
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
5 = $\sqrt{{\frac {-1}{2}A}^2 + (5)^2 - (4)}$
5 = $\sqrt{{\frac {1}{4}}A^2 + 25 - (4)}$
25 = $\frac {1}{4}$A² + 21
25 - 21 = $\frac {1}{4}$A²
4 = $\frac {1}{4}$A²
A² = 16
A = $\sqrt{16}$
A = ±4
jadi, nilai A adalah -4 dan 4

---

29. persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0 adalah ..
a. x² + y² + 3x - 4y - 2 = 0
b. x² + y² + 4x - 6y - 3 = 0
c. x² + y² + 2x + 8y - 8 = 0
d. x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0
e. x² + y² + 2x + 8y - 16 = 0

penyelesaian:
P(1, 4) → $x_1$ = 1 dan $y_1$ = 4
Ax + By + C = 0 → 3x - 4y - 2 = 0
A = 3; B = -4 dan C = -2
r = |$\frac {A.x_1 + B.y_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$|
r = |$\frac {3.1 + (-4).4 + (-2)}{\sqrt{(3)^2 + (-4)^2}}$|
r = |$\frac {3 -16 -2}{\sqrt{9 + 16}}$|
r = |$\frac {-15}{\sqrt{25}}$|
r = |$\frac {-15}{5}$|
r = |-3|
r = 3
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 1)² + (y - 4)² = 3²
x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 9
x² + y² - 2x - 8y + 17 = 9
x² + y² - 2x - 8y + 17 - 9 = 0
x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0

---

30. persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x - y - 2 = 0 serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah ..
a. x² + y² - x + y - 1 = 0
b. x² + y² - x - y - 1 = 0
c. x² + y² + 2x - 2y - 1 = 0
d. x² + y² - 2x + 2y - 1 = 0
e. x² + y² - 2x + 2y + 1 = 0

penyelesaian:
perhatikan gambar dibawah ini:

pusat lingkaran berada pada x - y - 2 = 0 kita misalkan P(a, a-2) dan r = BC = AB
$\sqrt{(a-0)^2 + {(a-2) - (a-2)}^2}$ = $\sqrt{(a-a)^2 + {(a-2) - 0}^2}$
$\sqrt{a^2}$ = $\sqrt{0 + {(a-2) - 0}^2}$
a² + 0 = 0 + a² - 4a + 4
a² - a² + 4a = 4
4a = 4
a = 1
jadi, lingkaran dengan P(1, -1) dan r = 1 sehingga persamaan lingkarannya:
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 1)² + (y + 1)² = 1²
x² - 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 1
x² + y² - 2x + 2y + 1 + 1 - 1 = 0
x² + y² - 2x + 2y + 1 = 0

---

31. persamaan garis singgung lingkaran x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 di titik (7, -5) adalah ...
a. 4x - 3y = 43
b. 4x + 3y = 23
c. 3x - 4y = 41
d. 10x + 3y = 55
e. 4x - 5y = 53

penyelesaian:
(7, -5) → x₁ = 7 dan y₁ = -5
x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 → A = -6; B = 4 dan C = -12
x₁.x + y₁.y + $\frac {A}{2}$ (x + x₁) + $\frac {B}{2}$ (y + y₁) + C = 0
7.x + (-5).y + $\frac {-6}{2}$ (x + 7) + $\frac {4}{2}$ (y + (-5)) + (-12) = 0
7x - 5y + (-3) (x + 7) + 2(y - 5) - 12 = 0
7x - 5y - 3x - 21 + 2y - 10 - 12 = 0
4x - 3y - 43 = 0
4x - 3y = 43

---

32. lingkaran L : (x + 1)² + (y - 3)² = 9 memotong garis y = 3. garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ....
a. x = 2 dan x = -4
b. x = 2 dan x = -2
c. x = -2 dan x = 4
d. x = -1 dan x = -4
e. x = 8 dan x = -10

penyelesaian:
● lingkaran memotong garis y = 3
(x + 1)² + (y - 3)² = 9
(x + 1)² + (3 - 3)² = 9
(x + 1)² + (0)² = 9
(x + 1)² = 9
(x + 1) = ±√9
x + 1 = ±3
x = 3 - 1 atau x = -3 - 1
x = 2 atau x = -4
sehingga diperoleh tipot (2, 3) dan (-4, 3)
● persamaan garis singgung lingkaran di titik (2, 3):
(x + 1)(x₁ + 1) + (y - 3)(y₁ - 3) = 9
(x + 1)(2 + 1) + (y - 3)(3 - 3) = 9
3x + 3 = 9
3x = 9 - 3
3x = 6
x = 2
● persamaan garis singgung lingkaran di titik (-4, 3):
(x + 1)(x₁ + 1) + (y - 3)(y₁ - 3) = 9
(x + 1)(-4 + 1) + (y - 3)(3 - 3) = 9
-3x - 3 = 9
-3x = 9 + 3
-3x = 12
x = -4

---

33. persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² - 2x + 2y - 2 = 0 yang bergradien 10 adalah ...
a. y = 10x - 10 ± 2√101
b. y = 10x - 11 ± 2√101
c. y = -10x + 10 ± 2√101
d. y = -10x ± 2√101
e. y = 10x ± 2√101

penyelesaian:
● x² + y² - 2x + 2y - 2 = 0
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$(-2) = 1
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$(2) = -1
c = -2
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt{1^2 + (-1)^2 - (-2)}$
r = $\sqrt{1 + 1 + 2}$
r = $\sqrt{4}$
r = 2
● y - b = m(x - a) ± r$\sqrt{m^2 + 1}$
y - (-1) = 10(x - 1) ± 2$\sqrt{10^2 + 1}$
y + 1 = 10x - 10 ± 2$\sqrt{100 + 1}$
y = 10x - 10 - 1 ± 2$\sqrt{101}$
y = 10x - 11 ± 2$\sqrt{101}$

---

34. persamaan garis singgung pada lingkaran 2x² + 2y² - 4x + 8y - 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y - 15 = 0
a. 5x + 12y - 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0
b. 5x + 12y - 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0
c. 12x + 5y - 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0
d. 12x + 5y = -20 atau 5x + 12y = 58
e. 5x + 12y - 20 = 0 atau 5x + 12y = 58

penyelesaian:
● persamaan lingkaran
2x² + 2y² - 4x + 8y - 8 = 0 kedua ruas /:2
x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$(-2) = 1
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$(4) = -2
c = -4
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)}$
r = $\sqrt{1 + 4 + 4}$
r = $\sqrt{9}$
r = 3
● garis 5x + 12y - 15 = 0
y = $\frac {-5}{12}$x + $\frac {15}{12}$
m = $\frac {-5}{12}$
● persamaan garis singgung lingkaran:
y - b = m(x - a) ± r$\sqrt{m^2 + 1}$
y - (-2) = $\frac {-5}{12}$(x - 1) ± r$\sqrt{{(\frac {-5}{12})}^2 + 1}$
y + 2 = $\frac {-5}{12}$(x - 1) ± 3$\sqrt{\frac {25}{144} + 1}$
y + 2 = $\frac {-5}{12}$(x - 1) ± 3$\frac {13}{12}$
y + 2 = $\frac {-5}{12}$(x - 1) ± 39
12y + 24 = (-5)(x - 1)± 39
12y + 24 = -5x + 5 ± 39
12y + 5x + 24 = 5 ± 39
● nilai ± untuk positif
12y + 5x + 24 = 5 + 39
12y + 5x + 24 = 44
12y + 5x + 24 - 44 = 0
12y + 5x - 20 = 0
● nilai ± untuk negatif
12y + 5x + 24 = 5 - 39
12y + 5x + 24 = -34
12y + 5x + 24 + 34 = 0
12y + 5x + 58 = 0
jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah 12y + 5x - 20 = 0 dan 12y + 5x + 58 = 0

---

35. persamaan garis singgung lingkaran (x - 4)² + (y + 3)² = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 adalah
a. y = 3x + 1 dan y = 3x - 30
b. y = 3x + 2 dan y = 3x - 32
c. y = 3x - 2 dan y = 3x + 32
d. y = 3x + 5 dan y = 3x - 35
e. y = 3x - 5 dan y = 3x + 35

penyelesaian:
● x + 3y + 5 = 0
y = $\frac {-1}{3}$x - $\frac {5}{3}$
m = $\frac {-1}{3}$
karena tegak lurus maka
m₁ . m₂ = -1
$\frac {-1}{3}$ . m₂ = -1
m₂ = 3
● persamaan garis singgung lingkaran dengan P(4, -3), r = $\sqrt{40}$
y - b = m(x - a) ± r$\sqrt{m^2 + 1}$
y - (-3) = 3(x - 4) ± $\sqrt{40}$$\sqrt{3^2 + 1}$
y + 3 = 3x - 12 ± $\sqrt{40}$$\sqrt{10}$
y + 3 = 3x - 12 ± $\sqrt{400}$
y = 3x - 12 - 3 ± 20
y = 3x - 15 ± 20
● nilai ± untuk positif
y = 3x - 15 ± 20
y = 3x - 15 + 20
y = 3x + 5
● nilai ± untuk negatif
y = 3x - 15 ± 20
y = 3x - 15 - 20
y = 3x - 35
jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah y = 3x + 5 dan y = 3x - 35

---

36. garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (-3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-jari r. nilai r = ...
a. 3
b. 5
c. 7
d. 9
e. 11

penyelesaian:
● x² + y² = 25 di titik (-3, 4) → $x_1$ = -3 dan $y_1$ = 4
x.x₁ + y.y₁ = 25
-3x + 4y - 25 = 0 → A = -3 ; B = 4 dan C = -25
titik pusat pada persamaan lingakran P(10, 5) → $x_1$ = 10 dan $y_1$ = 5
r = |$\frac {A.x_1 + B.y_1 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$|
r = |$\frac {-3.10 + 4.5 - 25}{\sqrt{(3)^2 + (4)^2}}$|
r = |$\frac {-30 + 20 - 25}{\sqrt{9 + 16}}$|
r = |$\frac {-35}{\sqrt{25}}$|
r = |$\frac {-35}{5}$|
r = |-7|
r = 7

---

37. salah satu garis singgung lingkaran yang bersudut 120⁰ terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, -2) adalah ..
a. y = -x√3 + 4√3 + 12
b. y = -x√3 - 4√3 + 8
c. y = -x√3 + 4√3 - 4
d. y = -x√3 - 4√3 - 8
e. y = -x√3 + 4√3 + 22

penyelesaian:
titik (7, 6) → x₁ = 7 dan y₁ = 6
titik (1, -2) → x₂ = 1 dan y₂ = -2
● titik pusat : P(a, b)
a = $\frac {x_1 + x_2}{2}$ = $\frac {7+1}{2}$ = 4
b = $\frac {y_1 + y_2}{2}$ = $\frac {6+(-2)}{2}$ = 2
P(a, b) → P(4, 2)
● r = $\frac {1}{2}$d
d = $\sqrt{{(x_2 - x_1)}^2 + {(y_2 - y_1)}^2}$
d = $\sqrt{{(1 - 7)}^2 + {(-2 - 6)}^2}$
d = $\sqrt{{(-6)}^2 + {(-8)}^2}$
d = $\sqrt{36 + 64}$
d = $\sqrt{100}$
r = 5
● m = tan 120 = -$\sqrt{3}$
● persamaan garis singgung lingkaran
P(a, b) → P(4, 2)
y - b = m(x - a) ± r$\sqrt{m^2 + 1}$
y - 2 = -$\sqrt{3}$(x - 4) ± 10$\sqrt{{(\sqrt{3})}^2 + 1}$
y - 2 = $\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$ ± 5$\sqrt{{(\sqrt{3})}^2 + 1}$
y = -$\sqrt{3}$x + 4$\sqrt{3}$ + 2 ± 5$\sqrt{4}$
y = -x$\sqrt{3}$ + 4$\sqrt{3}$ + 2 ± 10
y = -x$\sqrt{3}$ + 4$\sqrt{3}$ + 12 atau y = -x$\sqrt{3}$ + 4$\sqrt{3}$ - 8

---

38. salah satu persamaan garis singgung lingkaran dan titik (0, 0) pada lingkaran (x - 3)² + (y - 4)² = 5 adalah ...
a. x - y = 0
b. 11x + y = 0
c. 2x + 11y = 0
d. 11x - y = 0
e. 11x - 2y = 0

penyelesaian:
● titik (0, 0) berada diluar lingkaran persamaan garis polar: (x - 3)(x₁ - 3) + (y - 4)(y₁ - 4) = 5
(x - 3)² + (y - 4)² = 5
(x - 3)(x₁ - 3) + (y - 4)(y₁ - 4) = 5
(x - 3)(0 - 3) + (y - 4)(0 - 4) = 5
(x - 3)(- 3) + (y - 4)(- 4) = 5
-3x + 9 - 4y + 16 = 5
-3x - 4y + 25 - 5 = 0
-3x - 4y + 20 = 0
y = $\frac {20 - 3x}{4}$
y = 5 - $\frac {3}{4}$x
● lakukan substitusi jika y = 5 - $\frac {3}{4}$x pada persamaan (x - 3)² + (y - 4)² = 5
(x - 3)² + (y - 4)² = 5
(x - 3)² + (5 - $\frac {3}{4}$x - 4)² = 5
(x - 3)² + (1 -$\frac {3}{4}$x)² = 5
x² - 6x + 9 + $\frac {9}{16}$x² - $\frac {3}{2}$ x + 1 = 5 ..kedua ruas dikali x 16
16x² - 96x + 144 + 9x² - 24x + 16 = 80
25x² - 120x + 16 = 0
(5x -4) (x - 4) = 0
x = $\frac {4}{5}$ atau x = 4
untuk x = 4 → y = 2
untuk x = $\frac {4}{5}$ → y = $\frac {22}{5}$
● persamaan garis singgung lingkaran di titik (4, 2)
(x - 3)(x₁ - 3) + (y - 4)(y₁ - 4) = 5
(x - 3)(4 - 3) + (y - 4)(2 - 4) = 5
(x - 3)(1) + (y - 4)(-2) = 5
x - 3 - 2y + 8 = 5
x - 2y = 5 - 5
x - 2y = 0
● persamaan garis singgung lingkaran di titik ($\frac {4}{5}$, $\frac {22}{5}$)
(x - 3)(x₁ - 3) + (y - 4)(y₁ - 4) = 5
(x - 3)($\frac {4}{5}$ - 3) + (y - 4)($\frac {22}{5}$ - 4) = 5 kedua ruas dikali 5
(x - 3)(5)($\frac {4}{5}$ - 3) + (y - 4) (5)($\frac {22}{5}$ - 4) = 25
(x - 3) (4 - 15) + (y - 4)(22 - 20) = 25
(x - 3) (-11) + (y - 4)(2) = 25
-11x + 33 + 2y - 8 = 25
-11x + 2y + 25 = 25
-11x + 2y = 0 kedua ruas dikali -1
11x - 2y = 0

---

39. koordinat titik pusat dan titik fokus parabola y² - 6y - 8x + 17 = 0 berturut-turut adalah ...
a. (1, 3) dan (-1, 3)
b. (1, 3) dan (1, 5)
c. (1, 3) dan (1, 1)
d. (1, 3) dan (3, 3)
e. (1, 3) dan (-1, 3)

penyelesaian:
y² - 6y - 8x + 17 = 0
y² - 6y = 8x - 17
y² - 6y + 9 = 8x - 17 + 9
(y - 3)² = 8x - 8
(y - 3)² = 8 (x - 1)
(y - 3)² = 4.2 (x - 1)
terlihat bahwa titik pusatnya adalah P(1, 3) dan titik fokus F(1 + 2, 3) → F(3, 3)

---

40. persamaan direktris dan sumbu simetri pada parabola x² - 2x + 12y - 23 = 0 berturut-turut adalah ...
a. y + 1 = 0 dan x = 2
b. y + 1 = 0 dan x = 1
c. y + 1 = 0 dan x = -2
d. y - 5 = 0 dan x = 2
e. y - 5 = 0 dan x = -2

penyelesaian:
x² - 2x + 12y - 23 = 0
x² - 2x = -12y + 23
x² - 2x + 1 = -12y + 23 + 1
(x - 1)² = -12y + 24
(x - 1)² = -12(y - 2)
(x - 1)² = 4.-3(y - 2)
(x - 1)² = 4.-3(y - 2) → titik puncak P(1, 2)
direktriksnya y = 2 + (-3)
y = -1
y + 1 = 0
titk puncaknya: P(1, 2)
jadi, sumbu simetrinya x = 1

---

41. persamaan garis singgung pada parabola y² = 8x yang tegak lurus garis 2x + 3y - 6 adalah ..
a. 2x - 3y - 9 = 0
b. 2x - 3y + 9 = 0
c. 9x - 6y - 8 = 0
d. 9x - 6y + 2 = 0
e. 9x - 6y + 8 = 0

penyelesaian:
● 2x + 3y - 6 = 0
3y = -2x + 6
y = $\frac {-2}{3}$x + 2
m₁ = $\frac {-2}{3}$
diperoleh karena tegak lurus maka
m₁ . m₂ = -1
$\frac {-2}{3}$ . m₂ = -1
m₂ = $\frac {3}{2}$
● y² = 8x
y² = 4(2x) diperoleh p = 2
● persamaan garis singgungnya
y = mx + $\frac {p}{m}$
y = $\frac {3}{2}$x + $\frac {2}{\frac {3}{2}}$
y = $\frac {3}{2}$x + $\frac {4}{3}$ ....kedua ruas x 6
6y = 9x + 8
0 = 9x - 6y + 8
9x - 6y + 8 = 0

---

42. koordinat titik ujung sumbu minor, mayor, titik fokus dan direktriks pada ellips $\frac {{(x+3)}^2}{36}$ + $\frac {{(y+2)}^2}{100}$ = 1 berturut-turut adalah ..
a. (-3, 4); (-3, 8); (-3, 8); (-3, 12);(5, -2); (-11, -2); y = $\frac {-29}{2}$
b. (-3, 4); (-3, 8); (7, -2); (-13, -2);(-3, 6); (-3, -10); y = $\frac {29}{2}$
c. (-3, 4); (-3, 8); (5, -2); (-13, -2);(-3, 6); (-3, -11); y = $\frac {29}{2}$
d. (-9, -2); (3, -2); (-3, 8); (-3, -12);(-3, 6); (-3, -10); y = $\frac {21}{2}$
e. (-3, 4); (-3, 8); (7, -2); (-13, -2);(-3, 6); (-3, -10); y = $\frac {9}{2}$

penyelesaian:
x₁ = -3 dan y₁ = -2
a² = 100 → a = 10
b² = 36 → b = 6
c = $\sqrt{a^2 - b^2}$
c = $\sqrt{10^2 - 6^2}$
c = $\sqrt{100 - 36}$
c = $\sqrt{64}$
c = 8
sumbu minor:
● {-3-6, -2} = {-9, -2}
● {-3+6, -2} = {3, -2}
sumbu mayor:
● {-3, -2+10} = {-3, 8}
● {-3, -2-10} = {-3, -12}
titik fokus:
● {-3, -2+8} = {-3, 6}
● {-3, -2-8} = {-3, -10}
direktis:
y = y₁ ± $\frac {a^2}{c}$
y = -2 ± $\frac {100}{8}$
y = -2 ± $\frac {25}{2}$
untuk nilai positif (±)
y = -2 + $\frac {25}{2}$
y = $\frac {-4+25}{2}$
y = $\frac {21}{2}$
untuk nilai negatif (±)
y = -2 - $\frac {25}{2}$
y = $\frac {-4-25}{2}$
y = $\frac {-29}{2}$

---

43. koordinat titik pusat pada ellips 16x² + 49y² - 64x + 294y - 279 = 0 adalah ...
a. (3, 2)
b. (-2, -3)
c. (-2, 3)
d. (2, -3)
e. (2, 3)

penyelesaian:
cara pertama
menentukan titik koordinat pusat pada ellips dengan cara metode turunan
turunan x
16x² + 49y² - 64x + 294y - 279 = 0
32x + 0 - 64 + 0 - 0 = 0
32x = 64
x = 2
turunan y
16x² + 49y² - 64x + 294y - 279 = 0
0 + 98y - 0 + 294 - 0 = 0
98y = -294
y = -3
titik koordinat (2, -3)
cara kedua:
16x² + 49y² - 64x + 294y - 279 = 0
16(x² - 4x) + 49(y² + 6y) = 279
16(x - 2)² + 49(y + 3) = 279
(x - 2)²/49 + (y + 3)²/16 = 1
jadi, titik koordinat (2, -3)

---

44. persamaan garis singgung ellips x² + 4y² - 4x - 8y - 92 = 0 melalui titik (1, -5/2) adalah ...
a. x + 14y + 78 = 0
b. 4x - 14y + 78 = 0
c. 4x - 14y - 78 = 0
d. 4x + 14y - 122 = 0
e. 4x + 14y + 122 = 0

penyelesaian:
● x² + 4y² - 4x - 8y - 92 = 0
x² + 4y² - 4x - 8y = 92
x² - 4x + 4y² - 8y = 92
(x -2)² + 4(y² - 2y) = 92 + 4
(x -2)² + 4(y - 1)² = 96 + 1
(x -2)² + 4(y - 1)² = 100 .........kedua ruas dibagi /100
$\frac {(x -2)^2}{100}$ + $\frac {4(y - 1)^2}{100}$ = $\frac {100}{100}$
$\frac {(x -2)^2}{100}$ + $\frac {(y - 1)^2}{25}$ = 1
persamaan garis singgung melalui titik (1, -5/2) adalah :
$\frac {(x -2)(x_1 - 2)}{100}$ + $\frac {(y - 1)(y_1 - 1)}{25}$ = 1
$\frac {(x -2)(1 - 2)}{100}$ + $\frac {(y - 1)(\frac {-5}{2} - 1)}{25}$ = 1
$\frac {(x -2)(-1)}{100}$ + $\frac {(y - 1)(\frac {-7}{2}}{25}$ = 1
$\frac {(x -2)(-1)}{100}$ + $\frac {(y - 1)(4.\frac {-7}{2}}{100}$ = 1
$\frac {(x -2)(-1)}{100}$ + $\frac {(y - 1)(-14)}{100}$ = 1
(x -2)(-1) + (y - 1)(-14) = 100
-x + 2 + -14y + 14 = 100
-x - 14y + 16 - 100 = 0
-x - 14y - 78 = 0 kedua ruas dikali -1
x + 14y + 78 = 0

---

45. persamaan garis singgung pada ellips 3x² + 4y² - 12 = 0 yang tegak lurus garis y = x + 1 adalah ..
a. y = x + √7 atau y = x - √7
b. y = -x + √7 atau y = -x - √7
c. y = x + 5 atau y = x - 5
d. y = -x + 5 atau y = -x - 5
e. y = -x + 2√5 atau y = -x - 2√5

penyelesaian:
● garis y = x + 1 → m₁ = 1 karena tegak lurus maka m₂ = -1
● 3x² + 4y² - 12 = 0
3x² + 4y² = 12
$\frac {3x^2}{12}$ + $\frac {4y^2}{12}$ = $\frac {12}{12}$
$\frac {x^2}{4}$ + $\frac {y^2}{3}$ = 1
a² = 4 dan b² = 3
y = mx ± $\sqrt{a^2m^2 + b^2}$
y = -x ± $\sqrt{4.-1^2 + 3}$
y = -x ± $\sqrt{4.1 + 3}$
y = -x ± $\sqrt{7}$

---

46. hiperbola yang berfokus dititik (5, 0) berpusat di titik (0, 0) dan panjang sumbu mayor = 8, persamaanya adalah ...
a. $\frac {x^2}{64}$ - $\frac {y^2}{36}$ = 1
b. $\frac {x^2}{25}$ - $\frac {y^2}{16}$ = 1
c. $\frac {x^2}{16}$ - $\frac {y^2}{9}$ = 1
d. $\frac {y^2}{25}$ - $\frac {x^2}{9}$ = 1
e. $\frac {y^2}{16}$ - $\frac {x^2}{9}$ = 1

penyelesaian:
persamaan hiperbola yang berfokus di titik (0,0) berpusat di titik (0, 0)
(0, 0) → $\frac {x^2}{a^2}$ - $\frac {y^2}{b^2}$ = 1
diketahui fokus (5, 0) → c = 5
panjang sumbu mayor = 8 → 2a = 8 → a = 4
sehingga, b = $\sqrt{c^2 - a^2}$ = $\sqrt{5^2 - 4^2}$ = $\sqrt{25 - 16}$ = $\sqrt{9}$ = 3
jadi, persamaan hiperbola:
$\frac {x^2}{4^2}$ - $\frac {y^2}{3^2}$ = 1 → $\frac {x^2}{16}$ - $\frac {y^2}{9}$ = 1

---

47. salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan persamaan 9x² - 16y² - 54x + 64y - 127 = 0 adalah ...
a. 4x - 3y - 18 = 0
b. 4x - 3y - 6 = 0
c. 4y - 3x - 6 = 0
d. 3x - 4y - 17 = 0
e. 3x - 4y - 1 = 0

penyelesaian:
9x² - 16y² - 54x + 64y - 127 = 0
9x² - 54x - 16y² + 64y = 127
9(x² - 6) - 16(y² - 4) = 127
9(x - 3)² - 16(y - 2)² = 127 + 9 - 16
9(x - 3)² - 16(y - 2)² = 144
$\frac {9{(x-3)}^2}{144}$ - $\frac {16{(y-2)}^2}{144}$ = $\frac {144}{144}$
$\frac {{(x-3)}^2}{16}$ - $\frac {{(y-2)}^2}{9}$ = 1
sehingga:
a² = 16 → a = 4
b² = 9 → b = 3
persamaan asimtot:
y - y₁ = ± $\frac {b}{a}$ (x - x₁)
y - 2 = ± $\frac {3}{4}$ (x - 3) .....kedua ruas di kali x 4
4y - 8 = ±3(x - 3)
bernilai negatif (±)
4y - 8 = -3(x - 3)
4y - 8 = -3x + 9
3x + 4y - 8 - 9 = 0
3x + 4y - 17 = 0
bernilai positif (±)
4y - 8 = 3(x - 3)
4y - 8 = 3x - 9
4y - 3x - 8 + 9 = 0
4y - 3x + 1 = 0 kedua ruas di x -1
3x - 4y - 1 = 0

---

48. persamaan garis singgung hiperbola $\frac {y^2}{12}$ - $\frac {x^2}{48}$ = 1 dititik (4, -4) adalah ...
a. 4y + x + 12 = 0
b. 4y + x - 12 = 0
c. 4y - x + 12 = 0
d. 2y + x + 6 = 0
e. 2y + x - 6 = 0

penyelesaian:
persamaan garis singgung pada $\frac {y^2}{a^2}$ - $\frac {x^2}{b^2}$ = 1 di titik (x₁, y₁)
$\frac{y.y_1}{a^2}$ - $\frac {x.x_1}{b^2}$ = 1
$\frac{-4y}{12}$ - $\frac{4x}{48}$ = 1 .... kedua ruas di kali 48
-4y.4 - 4x = 48
-16y - 4x = 48 ..... kedua ruas -1/4
x + 4y = -12
4y + x + 12 = 0

---

49. persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari 4 adalah ..
a. x² + y² = 2
b. x² + y² = 4
c. x² + y² = 8
d. x² + y² = 16
e. x² - y² = 16

Penyelesaian:
a = 0
b = 0
r = 4
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 0)² + (y - 0)² = 4²
x² + y² = 16

---

50. persamaan lingkaran yang berpusat di (-2, 5) dan berjari-jari 3 adalah ...
a. x² + y² + 2x + 5y + 3 = 0
b. x² + y² - 2x + 5y + 3 = 0
c. x² + y² + 4x - 10y + 20 = 0
d. x² + y² - 4x + 10y + 20 = 0
e. x² + y² + 4x - 10y - 20 = 0

Penyelesaian:
a = -2
b = 5
r = 3
(x - (-2))² + (y - 5)² = r²
(x + 2)² + (y - 5)² = 3²
x² + 4x + 4 + y² - 10y + 25 = 9
x² + y² + 4x - 10y + 29 - 9 = 0
x² + y² + 4x - 10y + 20 = 0

---

51. persamaan lingkaran yang berpusat di (4, -5) dan menyinggung sumbu x adalah ...
a. x² + y² - 8x + 6y + 9 = 0
b. x² + y² - 8x + 10y + 25 = 0
c. x² + y² - 8x + 6y + 16 = 0
d. x² + y² + 8x - 6y + 16 = 0
e. x² + y² - 8x - 6y + 16 = 0

Penyelesaian:
P(4, -3) → a = 4 dan b = -5
karena menyinggung sumbu x → r = 4
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 4)² + (y - (-5))² = 4²
(x - 4)² + (y + 5)² = 16
x² - 8x + 16 + y² + 10y + 25 = 16
x² + y² - 8x + 10y + 41 - 16 = 0
x² + y² - 8x + 10y + 25 = 0

---

52. persamaan lingkaran yang berpusat di (4, -3) dan menyinggung sumbu x adalah ...
a. x² + y² - 8x + 6y + 9 = 0
b. x² + y² + 8x - 6y + 9 = 0
c. x² + y² - 8x + 6y + 16 = 0
d. x² + y² + 8x - 6y + 16 = 0
e. x² + y² - 8x - 6y + 16 = 0

Penyelesaian:
P(4, -3) → a = 4 dan b = -3
karena menyinggung sumbu x → r = -3
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 4)² + (y - (-3))² = -3²
(x - 4)² + (y + 3)² = 9
x² - 8x + 16 + y² + 6y + 9 = 9
x² + y² - 8x + 6y + 25 - 9 = 0
x² + y² - 8x + 6y + 16 = 0

---

53. persamaan lingkaran yang berpusat di (4, 8) dan menyinggung garis y - 12 = 0 adalah ...
a. x² + y² - 8x - 16y + 16 = 0
b. x² + y² + 8x - 16y - 16 = 0
c. x² + y² + 8x - 16y + 64 = 0
d. x² + y² - 8x + 16y + 64 = 0
e. x² + y² - 8x - 16y + 64 = 0

Penyelesaian:
P(4, 8) → a = 4 dan b = 8
r = 8 - 12 = -4
(x - a)² + (y - b)² = r²
(x - 4)² + (y - 8)² = -4²
x² - 8x + 16 + y² - 16y + 64 = 16
x² + y² - 8x - 16y + 64 + 16 - 16 = 0
x² + y² - 8x - 16y + 64 = 0

---

54. persamaan lingkaran x² + y² - 6x + 8y + 4 = 0 merupakan lingkaran yang berpusat di ..
a. (-6, 8)
b. (6, -8)
c. (-3, -4)
d. (-3, 4)
e. (3, -4)

Penyelesaian:
A = 6 dan B = 8
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$6 = -3
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$8 = -4

---

55. jari-jari lingkaran x² + y² - 4x + 6y + 12 = 0 adalah ...
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5

Penyelesaian:
A = -4 dan B = 6
a = $\frac {-1}{2}$A = $\frac {-1}{2}$(-4) = 2
b = $\frac {-1}{2}$B = $\frac {-1}{2}$6 = -3
c = 12
r = $\sqrt{a^2 + b^2 - c}$
r = $\sqrt{2^2 + (-3)^2 - 12}$
r = $\sqrt{4 + 9 - 12}$
r = $\sqrt{13 - 12}$
r = $\sqrt{1}$
r = 1