Cara Menentukan Persamaan Lingkaran – Rumus, Bentuk Umum, dan Penyelesaian Contoh Soal Lengkap

hello teman-teman materi kali ini kita akan membahas mengenai persamaan lingkaran yaitu: menentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(0,0), Menentukan Persamaan Lingkaran dengan titik Pusat P(a,b), Menentukan Bentuk Umum Persamaan Lingkaran, menentukan persamaan garis singgung di titik (p,q), menentukan jari-jari lingkaran, jarak titik pusat dengan garis dan menentukan kedudukan lingkaran.

Daftar Isi

1. Persamaan Lingkaran dalam bentuk x2 + y2 = r2
2. Persamaan Lingkaran dalam bentuk (x-a)2 + (y-b)2 = r2
3. Persamaan Lingkaran  dalam bentuk x2 + y2 + Ax + By + C = 0
4. Persamaan Lingkaran yang menyinggung sumbu x, y dan garis
5. Kedudukan Dua Lingkaran
6. Sifat-Sifat Garis Lingkaran
7. Menentukan Persaman garis singgung Lingkaran

Persamaan Lingkaran dalam bentuk x² + y² = r²

perhatikan gambar dibawah ini:

secara umum bentuk khusus persamaan lingkaran yang melewati titik pusat P(0,0) bentuk persamaannya menjadi x² + y² = r² secara khusus persamaan lingkaran: (x-a)² + (y-b)² = r²

pembuktian: 

jika titik pusat P(0,0) dan r. maka persamaan lingkarannya menjadi:

keterangan:

a = 0, b = 0, r = r

(x-a)² + (y-b)² = r²

(x-0)² + (y-0)² = r²

x² + y² = r²

x² + y² = r²  jadi terbukti jika titik pusatnya p(0,0)

contoh soal 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 3

Jawab:

x² + y² = r²

x² + y² = 5²

x² + y² = 25

jadi, persamaan lingkaran x² + y² = 25

contoh soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 4

Jawab:

x² + y² = r²

x² + y² = 4²

x² + y² = 16

jadi, persamaan lingkaran x² + y² = 16

Persamaan Lingkaran dalam bentuk (x-a)² + (y-b)² = r²

persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r dapat dibentuk persamaan lingkaran menjadi (x-a)² + (y-b)² = r² .bentuk persamaan ini dinakaman bentuk khusus persamaan lingkaran.

contoh soal 1:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,3) dan berjari-jari 4 …?

Penyelesaian:

a = 3

b = 3

r = 4

(x-a)² + (y-b)² = r² 

(x-3)² + (y-3)² = 4² 

(x-3)² + (y-3)² = 16

contoh soal 2:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-2,4) dan berjari-jari 8 …?

Penyelesaian:

a = -2

b = 4

r = 8

(x-a)² + (y-b)² = r² 

(x-(-2))² + (y-4)² = 8² 

(x+2)² + (y-4)² = 64

Persamaan Lingkaran  dalam bentuk x² + y² + Ax + By + C = 0

keterangan:

hasil penjabaran dari (x-a)² + (y-b)² = r² akan membentuk bentuk umum persamaan lingkaran dapat dijabarkan menjadi:

(x-a)² + (y-b)² = r²

(x – a) (x – a) + (y – b) (y – b) = r²

x² – ax – ax + a² + y² – by – by + b²= r²

x² – 2ax + a² + y² – 2by - r² = 0

x² + y² – 2ax   – 2by + a² + b² - r² = 0

maka dilakukan pemisalan dimana

a = -2a

b = -2b

c = a² + b² - r²

sehingga bentuk umum persamaan lingkaran:

x² + y² + Ax + By + C = 0. 

bentuk umum dari persamaan lingkaran adalah x² + y² + Ax + By + C = 0. 

contoh soal 1

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (-3,5) dan berjari-jari 6 …?

Penyelesaian:

Ada dua cara yaitu

Cara I

a = -3 ; b = 5 ;

(x-a)² + (y-b)² = r² 

(x-(-3))² + (y-5)² = 6² 

(x + 3)² + (y-5)² = 36

(x + 3) (x + 3) + (y – 5) (y – 5) = 36

(x² + 3x + 3x + 9) + (y² – 5y – 5y + 25) = 36

x² + 6x + 9 + y² – 10y  + 25 = 36

x² + y² + 6x – 10y + 34 = 36

x² + y² + 6x – 10y + 34 – 36 = 0

x² + y² + 6x – 10y - 2 = 0

cara II

a = -3 ; b = 5 ; r = 6

A = -2a

A = -2(-3) = 6

B = -2b

B = -2(5) = -10

C = a² + b² – r²

C = -3² + 5² – 6²

C = 9 + 25 – 36

C = 34 – 36

C = - 2

Substitusikan nilai-nilai diatas kedalam bentuk: x² + y² + Ax + By + C = 0. 

x² + y² + 6x + (-10y) + (-2) = 0

x² + y² + 6x -10y – 2 = 0

contoh soal 2

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (4,6) dan berjari-jari 5 …?

Penyelesaian:

Ada dua cara yaitu

Cara I

a = 4 ; b = 6 ; r = 5

(x-a)² + (y-b)² = r² 

 (x - 4)² + (y-6)² = 5²

(x - 4) (x - 4) + (y – 6) (y – 6) = 25

(x² - 4x - 4x + 16) + (y² – 6y – 6y + 36) = 25

x² - 8x + 16 + y² – 12y  + 36 = 25

x² + y² - 8x – 12y + 52 = 25

x² + y² - 8x – 12y + 52 – 25 = 0

x² + y² - 8x – 12y + 27  = 0

cara II

a = 4 ; b = 6 ; r = 5

A = -2a

A = -2(4) = -8

B = -2b

B = -2(6) = -12

C = a² + b² – r²

C = 4² + 6² – 5²

C = 16 + 36 – 25

C = 52 – 25

C = 27

Substitusikan nilai-nilai diatas kedalam bentuk: x² + y² + Ax + By + C = 0. 

x² + y² + (-8)x + (-12y) + 27 = 0

x² + y² - 8x - 12y + 27 = 0

Persamaan Lingkaran yang menyinggung sumbu x, y dan garis

keterangan:

i). jika titik pusat (a, b) menyingung sumbu x. maka jari-jari lingkaran adalah a

(x-a)² + (y-b)² = r² akan menjadi persamaan

(x-a)² + (y-b)² = a² karena r² = a² 

ii). jika titik pusat (a, b) menyingung sumbu y. maka jari-jari lingkaran adalah b

(x-a)² + (y-b)² = r² akan menjadi persamaan

(x-a)² + (y-b)² = b² karena r² = b² 

iii). jika titik pusat (a, b) menyingung garis y - c = 0. 

r = c - b

(x-a)² + (y-b)² = r² akan menjadi persamaan

(x-a)² + (y-b)² = (c-b)² karena r² = (c-b)²

iv). jika titik pusat (a, b) menyingung garis x - c = 0. 

x = c - a

(x-a)² + (y-b)² = r² akan menjadi persamaan

(x-a)² + (y-b)² = (c-a)² karena r² = (c-a)²

contoh soal 1

Persamaan lingkaran berpusat di (5, 7) dan menyinggung sumbu X adalah …

Penyelesaian

Titik pusat (5, 7)

a = 5

b = 7

r = a → r = 5

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 5)² + (y – 7)² = 5²

(x – 5) (x – 5) + (y – 7) (y – 7) = 25

x² – 5x – 5x + 25 + y² – 7y – 7y + 49 = 25

x² – 10x + 25 + y² – 14y + 49 = 25

x² + y² – 10x  – 14y + 74 - 25 = 0

x² + y² – 10x  – 14y + 49 = 0

contoh soal 2

Persamaan lingkaran berpusat di (2, 4) dan menyinggung sumbu X adalah …

Penyelesaian

Titik pusat (2, 4)

a = 2

b = 4

r = a → r = 2

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 2)² + (y – 4)² = 2²

(x – 2) (x – 2) + (y – 4) (y – 4) = 4

x² – 2x – 2x + 4 + y² – 4y – 4y + 16 = 4

x² – 4x + 4 + y² – 8y + 16 = 4

x² + y² – 4x  – 8y + 20 - 4 = 0

x² + y² – 4x  – 8y + 16 = 0

contoh soal 3

Persamaan lingkaran berpusat di (3, 1) dan menyinggung sumbu Y adalah …

Penyelesaian

Titik pusat (3, 1)

a = 3

b = 1

r = b → r = 1

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 3)² + (y – 1)² = 1²

(x – 3) (x – 3) + (y – 1) (y – 1) = 1

x² – 3x – 3x + 9 + y² – y – y + 1 = 1

x² – 6x + 9 + y² – 2y + 1 = 1

x² + y² – 6x  – 2y + 10 - 1 = 0

x² + y² – 6x  – 2y + 9 = 0

contoh soal 4

Persamaan lingkaran berpusat di (5, 7) dan menyinggung sumbu Y adalah …

Penyelesaian

Titik pusat (5, 7)

a = 5

b = 7

r = b → r = 7

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 5)² + (y – 7)² = 7²

(x – 5) (x – 5) + (y – 7) (y – 7) = 49

x² – 5x – 5x + 25 + y² – 7y – 7y + 49 = 49

x² – 10x + 25 + y² – 14y + 49 = 49

x² + y² – 10x  – 14y + 25 + 49 - 49 = 0

x² + y² – 10x  – 14y + 25 = 0

contoh soal 5

Persamaan lingkaran berpusat di (4, 8) dan menyinggung garis y – 15 = 0 …

Penyelesaian

Titik pusat (4, 8)

a = 4

b = 8

r = 15 – 8 = 7

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 4)² + (y – 8)² = 7²

(x – 4) (x – 4) + (y – 8) (y – 8) = 49

x² – 4x – 4x + 16 + y² – 8y – 8y + 64 = 49

x² – 8x + 16 + y² – 16y + 64 = 49

x² + y² – 8x  – 16y + 16 + 64 - 49 = 0

x² + y² – 8x  – 16y + 16 + 15 = 0

x² + y² – 8x  – 16y + 31 = 0

contoh soal 6

Persamaan lingkaran berpusat di (5, 2) dan menyinggung garis x – 10 = 0 …

Penyelesaian

Titik pusat (5, 2)

a = 5

b = 2

r = 10 – 5 = 5

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 5)² + (y – 2)² = 5²

(x – 5) (x – 5) + (y – 2) (y – 2) = 25

x² – 5x – 5x + 25 + y² – 2y – 2y + 4 = 25

x² – 10x + 25 + y² – 4y + 4 = 25

x² + y² – 10x  – 4y + 25 + 4 - 25 = 0

x² + y² – 8x  – 16y + 4 = 0

contoh soal 7

Persamaan lingkaran berpusat di (3, 1) dan menyinggung garis y = x

Penyelesaian

misalkan jari-jari = 1; pusat lingkaran (3, 1)

lingkaran menyinggung garis y = x

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 3)² + (y – 1)² = r²

(x – 3)² + (x – 1)² = r²

x² – 3x – 3x + 9 + x² – x – x + 1 = r²

x² – 6x + 9 + x² – 2x + 1 = r²

2x² – 8x  + 10 = r²

2x² – 8x  + 10 - r² = 0

Karena bersinggungan, maka D = 0

Untuk menentukan nilai D masih ingat rumus diskriminan pada persamaan kuadrat dari ax² + by + c = 0

D = 0

D = b² – 4ac

Persamaan 2x² – 8x  + 10 - r² = 0 didapat nilai

a = 2 ; b = -8 ; c = 10 – r²

D = b² – 4ac

D = (-8)² – 4(2)(10 – r²)

0 = 64 – 8 (10 – r²)

0 = 64 – 80 + 8r²

0 = - 16 + 8r²

16 = 8r²   … kedua ruas dibagi (:8)

2 = r²

Maka persamaan lingkaran

(x – 3)² + (y – 1)² = r²

(x – 3)² + (y – 1)² = 2

(x² – 3x – 3x + 9) + (y² –y – y + 1) = 2

x² – 6x + 9 + y² – 2y + 1 = 2

x² + y² – 6x – 2y + 10 - 2 = 0

x² + y² – 6x – 2y + 8 = 0

Kedudukan Dua Lingkaran

keterangan:

kedudukan dua lingkaran terbagi atas 5 bagian yaitu:

keterangan:

r₁ = jari-jari persamaan lingkaran pertama

r₂ = jari-jari persamaan lingkaran kedua

R = Jari-jari lingkaran terbesar

r = jari-jari lingkaran terkecil

D = jarak antara kedua pusat lingkaran

Rumus menentukan nilai D (jarak kedua lingkaran) yaitu:

D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$

i). Dua Lingkaran Saling Lepas apabila:

D > r₁  + r₂

ii). Dua Lingkaran Saling Bersinggungan diluar lingkaran apabila:

D = r₁  + r₂

iii) Dua Lingkaran Saling Bersinggungan didalam lingkaran apabila:

D = R – r

iv) Dua Lingkaran Didalam Lingkaran

D < R – r

v) Dua Lingkaran Saling Berpotongan

R – r < D < R + r

contoh soal 1

persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 4y = -1 dan x² + y² – 8x + 4y = -18. Tentukanlah kedudukan dua lingkaran :

a. Dua Lingkaran Saling Lepas apabila:

b. Dua Lingkaran Saling Bersinggungan diluar lingkaran apabila:

c. Dua Lingkaran Saling Bersinggungan didalam lingkaran apabila:

d. Dua Lingkaran Didalam Lingkaran

e. Dua Lingkaran Saling Berpotongan

penyelesaian:

keterangan:

bentuk umum persamaan lingkaran adalah : x² + y² + Ax + By + C = 0

Persamaan Lingkaran : x² + y² – 2x – 4y = -1

x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0

tentukanlah P₁(a₁, b₂)

A = -2

B = -4

C = 1

$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-2) = 1

$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-4) = 2

$P_{1}$(1,2) 

$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$

$r_{1}$ = $\sqrt{((1)^2 + (2)^2 - 1}$

$r_{1}$ = $\sqrt{1 + 4 - 1}$

$r_{1}$ = $\sqrt{4}$

$r_{1}$ = 2

Persamaan Lingkaran : x² + y² – 8x + 4y = -18.

x² + y² – 8x + 4y + 18 = 0

tentukanlah P₂(a₂, b₂)

A = -8

B = 4

C = 18

$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4

$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(4) = -2

$P_{2}$(4,-2) 

$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$

$r_{2}$ = $\sqrt{((4)^2 + (2)^2 - 18}$

$r_{2}$ = $\sqrt{16 + 4 - 18}$

$r_{2}$ = $\sqrt{20-18}$

$r_{2}$ = $\sqrt{2}$

kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$) 

diketahui: $P_{1}$(1,2), dan $P_{2}$(4,-2).

D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$

D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(4-1)^2 + (-2-2)^2}$

D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$

D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{9 + 16}$

D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{25}$

D($P_{1}$,$P_{2}$) = 5

maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran saling lepas

D > (r₁ + r₂)

5 > (2 + $\sqrt{2}$)

jadi, terbukti bahwa dua lingkaran saling lepas

Sifat-Sifat Garis Lingkaran

keterangan:

untuk menerapkan rumus diatas masih ingat bentuk umum persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.  dan diskriminannya D = b² – 4ac

jika persamaan bentuk lain mx² + nx + k = 0.

diketahui:

a = m

b = n

c = k

maka

D = b² – 4ac

D = n² – 4mk

sehingga dapat diberikan kesimpulan mengenai sifat-sifat garis lingkaran yaitu:

jika D > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik

jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran

jika D < 0, maka garis tidak memotong lingkaran

contoh soal 1

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran x² + y² – 12x – 4y + 30 = 0 dengan garis x - y = 6 buktikanlah bahwa garis memotong lingkaran di dua titik dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

x - y = 6

- y = -x + 6 ...kedua ruas dikali -1

y = x -6

tahap II substitusikan nilai garis y = x - 6 kepersamaan lingkaran:

x² + y² – 12x – 4y + 30 = 0

x² + (x -6)² – 12x – 4(x -6) + 30 = 0

x² + x² – 12x + 36 – 12x – 4x + 24 + 30 = 0

2x²  – 28x + 90 = 0 .....kedua ruas dibagi 2

x²  – 14x + 45 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0

D = b² – 4ac

a = 1

b = -14

c = 45

D = (-14)² - 4(1 x 45)

D = 196 - 180

D = 16

terbukti bahwa D > 0 (garis memotong lingkaran di dua titik) 

Menentukan Persaman garis singgung Lingkaran

keterangan:

menentukan sifat-sifat persamaan garis singgung lingkaran :

i). Persamaan lingkaran x² + y² = r² dengan titik singgung (p,q) memiliki persamaan garis singgung

ii). Persamaan lingkaran (x – a)² + (y – b)² = r² dengan titik singgung (p, q) memiliki persamaan garis singgung lingkaran (p – a) (x – a) + (q – b) (y – b) = r²

iii). Persamaan Lingkaran x² + y² +Ax + By + C= 0 dengan titik singgung (p,q) memiliki persamaan garis singgung lingkaran px + qy+ $\frac{1}{2}$A(x+p) + $\frac{1}{2}$B(y+q) + C = 0

contoh soal 1

tentukan persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ = 18 di titik singgung (3,3)

penyelesaian:

p = 3

q = 3

$r^{2}$ = 18

rumus persamaan garis singgung lingkaran: px + qy = $r^{2}$ 

3x + 3y = 18 .... kedua ruas dibagi 3

x + y = 6

contoh soal 2

tentukan persamaan garis singgung Lingkaran $(x+6)^{2}$ + $(y-6)^{2}$ = 40 dengan titik singgung (0,8). 

penyelesaian:

a = -6

b = 6

p = 0

q = 8

$r^{2}$ = 40

rumus persamaan garis singgung lingkaran: (p-a)(x-a) + (q-b)(y-b) = $r^{2}$ 

(0-(-6))(x-(-6)) + (8-6)(y-6) = 40

(0 + 6) (x + 6) + 2(y-6) = 40

6(x+6) + 2y - 12 = 40

6x + 36 + 2y - 12 = 40

6x + 2y + 24 = 40

6x + 2y = 40 - 24

6x + 2y = 16 .........kedua ruas dibagi 2

3x + y = 8 

jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah 3x + y = 8 

maka grafiknya:

contoh soal 3

gambarkan dan tentukan persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ -18x -4y + 68 = 0 dengan titik singgung (5,3). 

penyelesaian:

A = -18

B = -4

p = 5

q = 3

C = 68

rumus persamaan garis singgung lingkaran: px + qy+ $\frac{1}{2}$A(x+p) + $\frac{1}{2}$B(y+q) + C = 0 

px + qy+ $\frac{1}{2}$A(x+p) + $\frac{1}{2}$B(y+q) + C = 0

5x + 3y + $\frac{1}{2}$(-18)(x+5) + $\frac{1}{2}$(-4)(y+3) + 68 = 0

5x + 3y + (-9)(x+5) + (-2)(y+3) + 68 = 0

5x + 3y -9x - 45 - 2y - 6 + 68 = 0

-4x + y - 51 + 68 = 0

-4x + y + 17  = 0  ....kedua ruas dikali -1

4x - y - 17 = 0

jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah 4x - y - 17 = 0

silahkan kunjungi artikel terkait tentang Persamaan Lingkaran: