Kedudukan Dua Lingkaran
hello teman-teman kembali lagi kita pada materi mengenai kedudukan dua lingkaran yaitu menentukan kedudukan dua lingkaran saling lepas, kedudukan dua lingkaran saling bersinggungan diluar lingkaran, kedudukan dua lingkaran saling bersinggungan didalam lingkaran, kedudukan dua lingkaran yang saling berpotongan, kedudukan lingkaran didalam lingkaran. sebelumnya kita sudah membahas mengenai persamaan lingkaran yaitu bagaimana cara menentukan jari-jari pada persamaan lingkaran, cara menentukan titik pusat pada persamaan lingkaran, dan menentukan jarak antara kedua titik pada bidang koordinat karena ini membantu kita nanti bagaimana cara menentukan jenis-jenis kedudukan dua lingkaran.
Kedudukan Dua Lingkaran Saling Lepas
keterangan:
$r_{1}$ = jari-jari persamaan lingkaran pertama
$r_{2}$ = jari-jari persamaan lingkaran kedua
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Lepas apabila:
D > $r_{1}$ + $r_{2}$
contoh soal 1
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x - 4y = -1 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x + 4y = -18. buktikanlah dua lingkaran saling lepas dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x - 4y = -1
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 2x - 4y + 1 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -2
B = -4
C = 1
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-2) = 1
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-4) = 2
$P_{1}$(1,2)
$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{1}$ = $\sqrt{((1)^2 + (2)^2 - 1}$
$r_{1}$ = $\sqrt{1 + 4 - 1}$
$r_{1}$ = $\sqrt{4}$
$r_{1}$ = 2
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x + 4y = -18.
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x + 4y + 18 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -8
B = 4
C = 18
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(4) = -2
$P_{2}$(4,-2)
$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{2}$ = $\sqrt{((4)^2 + (2)^2 - 18}$
$r_{2}$ = $\sqrt{16 + 4 - 18}$
$r_{2}$ = $\sqrt{20-18}$
$r_{2}$ = $\sqrt{2}$
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(1,2), dan $P_{2}$(4,-2).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(4-1)^2 + (-2-2)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{9 + 16}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{25}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 5
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran saling lepas
D > ($r_{1}$ + $r_{2}$)
5 > (2 + $\sqrt{2}$)
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran saling lepas
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 2
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ + 4x - 6y = -9 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x = -5. buktikanlah dua lingkaran saling lepas dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ + 4x - 6y = -9
$x^{2}$ + $y^{2}$ + 4x - 6y + 9 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = 4
B = -6
C = 9
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(4) = -2
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-6) = 3
$P_{1}$(-2,3)
$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{1}$ = $\sqrt{((-2)^2 + (3)^2 - 9}$
$r_{1}$ = $\sqrt{4 + 9 - 9}$
$r_{1}$ = $\sqrt{4}$
$r_{1}$ = 2
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x = -5
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x + 5 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -10
B = 0
C = 5
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$P_{2}$(5,0)
$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{2}$ = $\sqrt{((5)^2 + (0)^2 - 5}$
$r_{2}$ = $\sqrt{25 - 5}$
$r_{2}$ = $\sqrt{20}$
$r_{2}$ = 4,47
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(-2,3), dan $P_{2}$(5,0) .
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(5 + 2)^2 + (0-3)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(7)^2 + (-3)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{49 + 9}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{58}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 7,6
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran saling lepas
D > ($r_{1}$ + $r_{2}$)
7,6 > (2 + 4,47)
7,6 > (6,47)
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran saling lepas
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 3:
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10y = -21 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ = 4. buktikanlah dua lingkaran saling lepas dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10y = -21
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 10y + 21 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = 0
B = -10
C = 21
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$P_{1}$(0,5)
$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{1}$ = $\sqrt{((0)^2 + (5)^2 - 21}$
$r_{1}$ = $\sqrt{0 + 25 - 21}$
$r_{1}$ = $\sqrt{4}$
$r_{1}$ = 2
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ = 4
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 4 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = 0
B = 0
C = -4
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$P_{2}$(0,0)
$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{2}$ = $\sqrt{((0)^2 + (0)^2 - (-4)}$
$r_{2}$ = $\sqrt{0 + 0 + 4}$
$r_{2}$ = $\sqrt{4}$
$r_{2}$ = 2
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(0,5), dan $P_{2}$(0,0) .
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0 - 0)^2 + (0-5)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0)^2 + (-5)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{0 + 25}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{25}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 5
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran saling lepas
D > ($r_{1}$ + $r_{2}$)
5 > (2 + 2)
5> (4)
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran saling lepas
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 4:
persamaan lingkaran $(x + 1)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 4 dan $(x - 5)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 9 buktikanlah dua lingkaran saling lepas dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x + 1)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$r^{2}_{1}$ = 4
$r_{1}$ = 2
$a_{1}$ = -1
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(-1,4)
Persamaan Lingkaran : $(x - 5)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 9
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}_{2}$ = 9
$r_{2}$ = 3
$a_{1}$ = 5
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(5,4)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(-1,4), dan $P_{2}$(5,4) .
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(5 + 1)^2 + (4-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(6)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 6
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran saling lepas
D > ($r_{1}$ + $r_{2}$)
6 > (2 + 3)
5> (5)
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran saling lepas
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 5:
persamaan lingkaran $(x - 2)^{2}$ + $(y-5)^{2}$ = 4 dan $(x - 6)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 1 buktikanlah dua lingkaran saling lepas dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x - 2)^{2}$ + $(y-5)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$r^{2}_{1}$ = 4
$r_{1}$ = 2
$a_{1}$ = 2
$b_{1}$ = 5
$P_{1}$(2,5)
Persamaan Lingkaran : $(x - 6)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 1
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}_{2}$ = 1
$r_{2}$ = 1
$a_{1}$ = 6
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(6,4)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(2,5) , dan $P_{2}$(6,4) .
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(6 - 2)^2 + (4-5)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(4)^2 + (-1)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{16 + 1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{17}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 4,12
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran saling lepas
D > ($r_{1}$ + $r_{2}$)
4,12 > (2 + 1)
4,12 > (3)
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran saling lepas
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
Kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
keterangan:
$r_{1}$ = jari-jari persamaan lingkaran pertama
$r_{2}$ = jari-jari persamaan lingkaran kedua
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Bersinggungan diluar Lingkaran apabila:
D = $r_{1}$ + $r_{2}$
contoh soal 1
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 8y = -23 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 18x - 8y = -93. buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 8y = -23
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 8y + 23 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -8
B = -8
C = 23
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{1}$(4,4)
$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{1}$ = $\sqrt{((4)^2 + (4)^2 - 23}$
$r_{1}$ = $\sqrt{16 + 16 - 23}$
$r_{1}$ = $\sqrt{32 - 23}$
$r_{1}$ = $\sqrt{9}$
$r_{1}$ = 3
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 18x - 8y = -93
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 18x - 8y + 93 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -18
B = -8
C = 93
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-18) = 9
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{2}$(9, 4)
$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{2}$ = $\sqrt{((9)^2 + (4)^2 - 93}$
$r_{2}$ = $\sqrt{81 + 16 - 93}$
$r_{2}$ = $\sqrt{97-93}$
$r_{2}$ = $\sqrt{4}$
$r_{2}$ = 2
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(4,4), dan $P_{2}$(9, 4) .
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(9-4)^2 + (4-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(3)^2 + (-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{9 + 16}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{25}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 5
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
D = ($r_{1}$ + $r_{2}$)
5 = (3 + 2)
5 = 5
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran:
contoh soal 2
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 12y = -57 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 4y = -25. buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 12y = -57
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 12y + 57 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -10
B = -12
C = 57
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-12) = 6
$P_{1}$(5,6)
$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{1}$ = $\sqrt{((5)^2 + (6)^2 - 57}$
$r_{1}$ = $\sqrt{25 + 36 - 57}$
$r_{1}$ = $\sqrt{61 - 57}$
$r_{1}$ = $\sqrt{4}$
$r_{1}$ = 2
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 4y = -25
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 4y + 25 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -10
B = -4
C = 25
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-4) = 2
$P_{2}$(5, 2)
$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{2}$ = $\sqrt{((5)^2 + (2)^2 - 25}$
$r_{2}$ = $\sqrt{25 + 4 - 25}$
$r_{2}$ = $\sqrt{4}$
$r_{2}$ = 2
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(5,6), dan $P_{2}$(5, 2).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(5-5)^2 + (6-2)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0)^2 + (4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{0 + 16}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{16}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 4
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
D = ($r_{1}$ + $r_{2}$)
4 = (2 + 2)
4 = 4
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran:
contoh soal 3:
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 6y = 16 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 16x - 6y = -64. buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 6y = 16
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 6y - 16 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = 0
B = -6
C = -16
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-6) = 3
$P_{1}$(0,3)
$r_{1}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{1}$ = $\sqrt{((0)^2 + (3)^2 - (-16)}$
$r_{1}$ = $\sqrt{0 + 9 + 16}$
$r_{1}$ = $\sqrt{25}$
$r_{1}$ = 5
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 16x - 6y = -64
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 16x - 6y + 64 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -16
B = -6
C = 64
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-16) = 8
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-6) = 3
$P_{2}$(8, 3)
$r_{2}$ = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
$r_{2}$ = $\sqrt{((8)^2 + (3)^2 - 64}$
$r_{2}$ = $\sqrt{64 + 9 - 64}$
$r_{2}$ = $\sqrt{9}$
$r_{2}$ = 3
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(0,3), dan $P_{2}$(8, 3).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(8-0)^2 + (3-3)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(8)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{64 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{64}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 8
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
D = ($r_{1}$ + $r_{2}$)
8 = (5 + 3)
8 = 8
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran:
contoh soal 4:
persamaan lingkaran $(x + 3)^{2}$ + $(y-5)^{2}$ = 16 dan $(x - 3)^{2}$ + $(y-5)^{2}$ = 4 buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x + 3)^{2}$ + $(y-5)^{2}$ = 16
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$r^{2}_{1}$ = 16
$r_{1}$ = 4
$a_{1}$ = -3
$b_{1}$ = 5
$P_{1}$(-3,5)
Persamaan Lingkaran : $(x - 3)^{2}$ + $(y-5)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}_{2}$ = 4
$r_{2}$ = 2
$a_{1}$ = 3
$b_{1}$ = 5
$P_{1}$(3,5)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(-3,5), dan $P_{1}$(3,5).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(3 + 3)^2 + (5-5)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(6)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 6
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
D = ($r_{1}$ + $r_{2}$)
6 = (4 + 2)
6 = 6
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran:
contoh soal 5:
persamaan lingkaran $(x + 1)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 4 dan $(x - 5)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 9 buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x + 1)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$r^{2}$ = 4
$r_{1}$ = 2
$a_{1}$ = -1
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(-1,4)
Persamaan Lingkaran : $(x - 5)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 9
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}$ = 9
$r_{2}$ = 3
$a_{1}$ = 5
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(5,4)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(-1,4), dan $P_{2}$(5,4) .
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(5 + 1)^2 + (4-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(6)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 6
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
D = ($r_{1}$ + $r_{2}$)
6 = (2 + 3)
5 = (5)
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Diluar Lingkaran:
Kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
keterangan:
R = jari-jari persamaan lingkaran Besar
r = jari-jari persamaan lingkaran Kecil
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Bersinggungan didalam Lingkaran apabila:
D = R - r
contoh soal 1
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 6x - 8y = -9 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 8y = -37. buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 6x - 8y = -9
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 6x - 8y + 9 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -6
B = -8
C = 9
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-6) = 3
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{1}$(3,4)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R= $\sqrt{((3)^2 + (4)^2 - 9}$
R = $\sqrt{9 + 16 - 9}$
R = $\sqrt{16}$
R = 4
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 8y = -37
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 10x - 8y + 37 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -10
B = -8
C = 37
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{2}$(5, 4)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((5)^2 + (4)^2 - 37}$
r = $\sqrt{25 + 16 - 37}$
r = $\sqrt{41-37}$
r = $\sqrt{4}$
r = 2
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(3,4), dan $P_{2}$(5, 4).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(5-3)^2 + (4-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(2)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
D = R - r
2 = (4 - 2)
2 = 2
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran:
contoh soal 2
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ + 8x - 10y = -37 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ + 8x - 8y = -31. buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ + 8x - 10y = -37
$x^{2}$ + $y^{2}$ + 8x - 10y + 37 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = 8
B = -10
C = 37
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(8) = -4
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$P_{1}$(-4,5)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R= $\sqrt{((-4)^2 + (5)^2 - 37}$
R = $\sqrt{16 + 25 - 37}$
R = $\sqrt{41 - 37}$
R = $\sqrt{4}$
R = 2
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ + 8x - 8y = -31
$x^{2}$ + $y^{2}$ + 8x - 8y + 31 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = 8
B = -8
C = 31
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(8) = -4
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{2}$(-4, 4)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((-4)^2 + (4)^2 - 31}$
r = $\sqrt{16 + 16 - 31}$
r = $\sqrt{32-31}$
r = $\sqrt{1}$
r = 1
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(-4,5), dan $P_{2}$(-4, 4).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(-4+4)^2 + (4-5)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0)^2 + (-1)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{0 + 1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 1
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
D = R - r
1 = (2 - 1)
1 = 1
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran:
contoh soal 3
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ = 16 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ -4x = 0. buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ = 16
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 16 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = 0
B = 0
C = -16
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$P_{1}$(0,0)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R= $\sqrt{((0)^2 + (0)^2 - (-16)}$
R = $\sqrt{0 + 0 + 16}$
R = $\sqrt{16}$
R = 4
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ -4x = 0
$x^{2}$ + $y^{2}$ -4x = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -4
B = 0
C = 0
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-4) = 2
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$P_{2}$(2, 0)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((2)^2 + (0)^2 - 0}$
r = $\sqrt{4 + 0 - 0}$
r = $\sqrt{4}$
r = 2
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(0,0) , dan $P_{2}$(2, 0).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(2+0)^2 + (0-0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(2)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
D = R - r
2 = (4 - 2)
2 = 2
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran:
contoh soal 4
persamaan lingkaran $(x - 6)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 16 dan $(x - 6)^{2}$ + $(y-6)^{2}$ = 4 buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x - 6)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 16
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$R^{2}$ = 16
R = 4
$a_{1}$ = 6
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(6,4)
Persamaan Lingkaran : $(x - 6)^{2}$ + $(y-6)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
r = 4
r = 2
$a_{2}$ = 6
$b_{2}$ = 6
$P_{2}$(6,6)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(6,4), dan $P_{1}$(6,6).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(6 - 6)^2 + (6-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0)^2 + (2)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{0 + 4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
D = (R - r)
2 = (4 - 2)
2 = 2
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
contoh soal 5
persamaan lingkaran $(x - 4)^{2}$ + $(y-3)^{2}$ = 4 dan $(x - 5)^{2}$ + $(y-3)^{2}$ = 1 buktikanlah Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x - 4)^{2}$ + $(y-3)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$R^{2}$ = 4
R = 2
$a_{1}$ = 4
$b_{1}$ = 3
$P_{1}$(4,3)
Persamaan Lingkaran : $(x - 5)^{2}$ + $(y-3)^{2}$ = 1
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}$ = 1
r = 1
$a_{2}$ = 5
$b_{2}$ = 3
$P_{2}$(5,3)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(4,3), dan $P_{2}$(5,3).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(5 - 4)^2 + (3-3)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(1)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{1 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 1
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
D = (R - r)
1 = (2 - 1)
1 = 1
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Saling Bersinggungan Didalam Lingkaran:
Kedudukan Dua Lingkaran Didalam Lingkaran
keterangan:
R = jari-jari persamaan lingkaran Besar
r = jari-jari persamaan lingkaran Kecil
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Bersinggungan didalam Lingkaran apabila:
D < R - r
contoh soal 1
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 10y = -58 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 6y = -57. buktikanlah dua lingkaran didalam lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 10y = -58
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 10y + 58 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -14
B = -10
C = 58
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-14) = 7
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$P_{1}$(7,5)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R = $\sqrt{((7)^2 + (5)^2 - 58}$
R = $\sqrt{49 + 25 - 58}$
R = $\sqrt{74 - 58}$
R = $\sqrt{16}$
R = 4
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 6y = -57
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 6y + 57 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -14
B = -6
C = 57
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-14) = 7
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-6) = 3
$P_{2}$(7,3)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((7)^2 + (3)^2 - 57}$
r = $\sqrt{49 + 9 - 57}$
r = $\sqrt{58 - 57}$
r = $\sqrt{1}$
r = 1
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(7,5), dan $P_{2}$(7,3).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(7 - 7)^2 + (5-3)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0)^2 + (2)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{0 + 4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran didalam lingkaran
D < R - r
2 < 4 - 1
2 < 3
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran didalam lingkaran
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 2
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 18x - 8y = -81 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 16x - 8y = -76. buktikanlah dua lingkaran didalam lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 18x - 8y = -81
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 18x - 8y + 81 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -18
B = -8
C = 81
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-18) = 9
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{1}$(9,4)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R = $\sqrt{((9)^2 + (4)^2 - 81}$
R = $\sqrt{81 + 16 - 81}$
R = $\sqrt{97 - 81}$
R = $\sqrt{16}$
R = 4
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 16x - 8y = -76
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 16x - 8y + 76 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -16
B = -8
C = 76
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-16) = 8
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$P_{2}$(8,4)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((8)^2 + (4)^2 - 76}$
r = $\sqrt{64 + 16 - 76}$
r = $\sqrt{80 - 76}$
r = $\sqrt{4}$
r = 2
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(9,4), dan $P_{2}$(8,4).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(8 - 9)^2 + (4-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(-1)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{1 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 1
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran didalam lingkaran
D < R - r
1 < 4 - 2
1 < 2
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran didalam lingkaran
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 3
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x = 9 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 2y = -8. buktikanlah dua lingkaran didalam lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x = 9
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 9 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -8
B = 0
C = -9
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(0) = 0
$P_{1}$(4,0)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R = $\sqrt{((4)^2 + (0)^2 - (-9)}$
R = $\sqrt{16 + 0 + 9}$
R = $\sqrt{25}$
R = $\sqrt{5}$
R = 5
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 2y = -8.
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 8x - 2y + 8 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -8
B = -2
C = 8
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-8) = 4
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-2) = 1
$P_{2}$(4,1)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((4)^2 + (1)^2 - 8}$
r = $\sqrt{16 + 1 - 8}$
r = $\sqrt{9}$
r = 3
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(4,0), dan $P_{2}$(4,1).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(4 - 4)^2 + (1-0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(0)^2 + (1)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{0 + 1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{1}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 1
maka: Buktikan kedudukan dua lingkaran didalam lingkaran
D < R - r
1 < 5 - 3
1 < 2
jadi, terbukti bahwa dua lingkaran didalam lingkaran
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
contoh soal 4
persamaan lingkaran $(x + 6)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 25 dan $(x + 8)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 4 buktikanlah Dua Lingkaran Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x + 6)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 25
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$R^{2}$ = 25
R = 5
$a_{1}$ = -6
$b_{1}$ = 4
$P_{1}$(-6,4)
Persamaan Lingkaran : $(x + 8)^{2}$ + $(y-4)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}$ = 4
r = 2
$a_{2}$ = -8
$b_{2}$ = 4
$P_{2}$(-8,4)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(-6,4), dan $P_{2}$(-8,4).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(-8 - (-6))^2 + (4-4)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(-2)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Didalam Lingkaran
D < (R - r)
2 < (5 - 3)
2 < 3
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Didalam Lingkaran:
contoh soal 5
persamaan lingkaran $(x - 4)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = 36 dan $(x - 2)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = 4 buktikanlah Dua Lingkaran Didalam Lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk khusus persamaan lingkaran adalah : $(x - a)^{2}$ + $(y-b)^{2}$ = $r^{2}$
$P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
Persamaan Lingkaran : $(x - 4)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = 36
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
$R^{2}$ = 36
R = 6
$a_{1}$ = 4
$b_{1}$ = 2
$P_{1}$(4,2)
Persamaan Lingkaran : $(x - 2)^{2}$ + $(y-2)^{2}$ = 4
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
$r^{2}$ = 4
r = 2
$a_{2}$ = 2
$b_{2}$ = 2
$P_{2}$(2,2)
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(4,2), dan $P_{2}$(2,2).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(2 - 4)^2 + (2-2)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(-2)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{4}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Didalam Lingkaran
D < (R - r)
2 < (6 - 2)
2 < 4
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Didalam Lingkaran
gambar grafik dari Dua Lingkaran Didalam Lingkaran:
Kedudukan Dua Lingkaran Saling Berpotongan
keterangan:
R = jari-jari persamaan lingkaran Besar
r = jari-jari persamaan lingkaran Kecil
d = jarak antara kedua pusat lingkaran
Dua Lingkaran Saling Berpotongan
R-r < D < R + r
contoh soal 1
persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 10y = -58 dan $x^{2}$ + $y^{2}$ - 26x - 10y = -185. buktikanlah Dua Lingkaran Saling berpotongan dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.
penyelesaian:
keterangan:
bentuk umum persamaan lingkaran adalah : $x^{2}$ + $y^{2}$ + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 10y = -58
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 14x - 10y + 58 = 0
tentukanlah $P_{1}$($a_{1}$,$b_{1}$)
A = -14
B = -10
C = 58
$a_{1}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-14) = 7
$b_{1}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$P_{1}$(7,5)
R = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
R = $\sqrt{((7)^2 + (5)^2 - 58}$
R = $\sqrt{49 + 25 - 58}$
R = $\sqrt{74 - 58}$
R = $\sqrt{16}$
R = 4
Persamaan Lingkaran : $x^{2}$ + $y^{2}$ - 26x - 10y = -185.
$x^{2}$ + $y^{2}$ - 26x - 10y + 185 = 0
tentukanlah $P_{2}$($a_{2}$,$b_{2}$)
A = -26
B = -10
C = 185
$a_{2}$ = -$\frac{1}{2}$A =-$\frac{1}{2}$(-26) = 13
$b_{2}$ = -$\frac{1}{2}$B =-$\frac{1}{2}$(-10) = 5
$P_{2}$(13,5)
r = $\sqrt{((a_{1})^2 + (b_{1})^2 - C}$
r = $\sqrt{((13)^2 + (5)^2 - 185}$
r = $\sqrt{169 + 25 - 185}$
r = $\sqrt{194 - 185}$
r = $\sqrt{9}$
r = 3
kemudian tentukan jarak titik pusat lingkaran ($P_{1}$,$P_{2}$)
diketahui: $P_{1}$(7,5), dan $P_{2}$(13,5).
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(a_{2}-a_{1})^2 + (b_{2}-b_{1})^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(13 - 7)^2 + (5-5)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{(6)^2 + (0)^2}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{36 + 0}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = $\sqrt{6}$
D($P_{1}$,$P_{2}$) = 2
maka: Buktikan kedudukan Dua Lingkaran Saling berpotongan
R - r < D < R + r
4 - 3 < 2 < 4 + 3
1 < 2 < 7
jadi, terbukti bahwa Dua Lingkaran Saling berpotongan
gambar grafik dari dua buah lingkaran yang saling lepas:
Post a Comment for "Kedudukan Dua Lingkaran"