Sifat-Sifat Garis Lingkaran

Hello teman-teman kembali lagi kita pada materi mengenai sifat-sifat garis lingkaran yaitu: kedudukan garis memotong lingkaran di dua titik, kedudukan garis yang menyinggung lingkaran, dan kedudukan garis yang tidak memotong lingkaran. sebelumnya kita sudah membahas tentang kedudukan dua lingkaran, menentukan persamaan lingkaran, jari-jari lingkaran, sifat-sifat garis singgung lingkaran, dan jarak kedua titik pada bidang koordinat.

Pengertian Sifat-Sifat Garis Lingkaran

garis dan lingkaran yang memiliki posisi atau terletak pada satu bidang memiliki tiga sifat yaitu akan berpotongan, bersinggungan, atau tidak berpotongan. dari ketiga sifat garis lingkaran dapat diselidiki dengan cara menggunakan gradien garis. misalnya persamaan lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0 dan persamaan garis adalah y = px + q, jika persamaan garis disubstitusikan kedalam persamaan lingkaran akan diperoleh sebuah persamaan kuadrat yaitu: (1 + $p^{2}$)$x^{2}$ + (A + 2pq + Bp)x + C + Bq + $q^{2}$ = 0. dari persamaan ini didapat menjadi m$x^{2}$ + nx + k = 0.

untuk menerapkan rumus diatas masih ingat bentuk umum persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.  dan diskriminannya D = $b^{2}$ - 4ac. 

jika persamaan bentuk lain m$x^{2}$ + nx + k = 0. 

diketahui:

a = m

b = n

c = k

maka

D = $b^{2}$ - 4ac.

D = $n^{2}$ - 4mk.

sehingga dapat diberikan kesimpulan mengenai garis lingkaran yaitu:

jika D > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik

jika D = 0, maka garis menyinggung lingkaran

jika D < 0, maka garis tidak memotong lingkaran

Daftar Isi

1. Pengertian Sifat-Sifat Garis Lingkaran
2. Garis Memotong Lingkaran di Dua Titik
3. Garis Menyinggung Lingkaran
4. Garis Tidak Memotong Lingkaran

Garis Memotong Lingkaran di Dua Titik

perhatikan gambar dibawah ini:

keterangan:

di gambar diatas terdapat 1 buah lingkaran yang berbentuk $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0 dan garis lurus y = px + q yang saling berpotongan pada bidang lingkaran yang memiliki dua buah titik A dan titik B pada keliling lingkaran. 

rumus untuk menentukan garis lingkaran pada dua titik adalah:

D = $b^{2}$ - 4ac.

jika D > 0 maka garis memotong lingkaran di dua titik

contoh soal 1

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ -12x -4y + 30 = 0 dengan garis x - y = 6 buktikanlah bahwa garis memotong lingkaran di dua titik dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

x - y = 6

- y = -x + 6 ...kedua ruas dikali -1

y = x -6

tahap II substitusikan nilai garis y = x - 6 kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ -12x -4y + 30 = 0

$x^{2}$ + $(x -6)^{2}$ -12x -4(x -6) + 30 = 0

$x^{2}$ + $x^{2}$ - 12x + 36 - 12x -4x + 24 + 30 = 0

2$x^{2}$ - 28x + 90 = 0 .....kedua ruas dibagi 2

$x^{2}$ - 14x + 45 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = -14

c = 45

D = $(-14)^{2}$ - 4(1 x 45)

D = 196 - 180

D = 16

terbukti bahwa D > 0 (garis memotong lingkaran di dua titik)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 2

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ -12x -8y + 43 = 0 dengan garis x + y = 7 buktikanlah bahwa garis memotong lingkaran di dua titik dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

x + y = 7

y = -x + 7

tahap II substitusikan nilai garis y = -x + 7 kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ -12x -8y + 43 = 0 

$x^{2}$ + $(-x + 7)^{2}$ -12x -8(-x + 7) + 43 = 0

$x^{2}$ + $x^{2}$ - 14x + 49 -12x + 8x - 56 + 43 = 0

2$x^{2}$ - 18x + 92 - 56 = 0

2$x^{2}$ - 18x + 36 = 0

2$x^{2}$ - 18x + 36 = 0 .....kedua ruas dibagi 2

$x^{2}$ - 9x + 18 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = -9

c = 18

D = $(-9)^{2}$ - 4(1 x 18)

D = 81 - 72

D = 9

terbukti bahwa D > 0 (garis memotong lingkaran di dua titik)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 3:

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $(x-7)^{2}$ + $(y+3)^{2}$ = 9 dengan garis x - y = 13 buktikanlah bahwa garis memotong lingkaran di dua titik dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

x - y = 13

-y = -x + 13    ... kedua ruas dikali -1

y = x - 13

tahap II substitusikan nilai garis y = x - 13 kepersamaan lingkaran:

$(x-7)^{2}$ + $(y+3)^{2}$ = 9 

$(x-7)^{2}$ + $((x - 13) + 3)^{2}$ = 9 

$(x-7)^{2}$ + $((x - 10)^{2}$ - 9 = 0 

$x^{2}$ - 14x + 49 + $x^{2}$ - 20x + 100 - 9 = 0

2$x^{2}$ - 34x + 140 = 0

$x^{2}$ - 17x + 70 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = -17

c = 70

D = $(-17)^{2}$ - 4(1 x 70)

D = 289 - 280

D = 9

terbukti bahwa D > 0 (garis memotong lingkaran di dua titik)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 4:

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ = 8 dengan garis x - y = 0 buktikanlah bahwa garis memotong lingkaran di dua titik dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

x - y = 0

x = y atau y = x

tahap II substitusikan nilai garis y = x kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ = 8

$x^{2}$ + $x^{2}$ = 8

2$x^{2}$ = 8 .....kedua ruas dibagi 2

$x^{2}$ = 4

$x^{2}$ - 4 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = 0

c = -4

D = $(0)^{2}$ - 4(1 x -4)

D = 0 + 16

D = 16

terbukti bahwa D > 0 (garis memotong lingkaran di dua titik)

grafiknya pada bidang koordinat:

Garis Menyinggung Lingkaran

perhatikan gambar dibawah ini:

keterangan:

di gambar diatas terdapat 1 buah lingkaran yang berbentuk $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0 dan garis lurus y = px + q yang saling bersinggungan pada pada satu tutitik yaitu titik B. 

rumus untuk menentukan garis lingkaran pada dua titik adalah:

D = $b^{2}$ - 4ac.

jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran 

contoh soal 1

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ -6x -6y + 13 = 0 dengan garis 2x + y = 14 buktikanlah bahwa garis bersinggungan pada lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

2x + y = 14

y = -2x + 14 

tahap II substitusikan nilai garis y = -2x + 14  kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ -6x -6y + 13 = 0

$x^{2}$ + $(-2x + 14)^{2}$ -6x -6(-2x + 14 ) + 13 = 0

$x^{2}$ + (-2x + 14)(-2x + 14) - 6x + 12x - 84 + 13 = 0

$x^{2}$ + (4$x^{2}$ - 28x - 28x + 196 ) + 6x - 71= 0

$x^{2}$ + 4$x^{2}$ - 56x + 196 + 6x - 71 = 0

5$x^{2}$ - 50x + 125

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 5

b = -50

c = 125

D = $(-50)^{2}$ - 4(5 x 125)

D = 2.500 - 4(625)

D = 2.500 - 2.500

terbukti bahwa D = 0 (garis bersinggungan pada lingkaran)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 2

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ -16x -16y + 96 = 0 dengan garis 4x + 4y = 32 buktikanlah bahwa garis bersinggungan pada lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

4x + 4y = 32 

4y = -4x + 32  ... kedua ruas dibagi 4

y = -x + 8 

tahap II substitusikan nilai garis y = -x + 8   kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ -16x -16y + 96 = 0

$x^{2}$ + $(-x + 8)^{2}$ -16x -16(-x + 8) + 96 = 0

$x^{2}$ + $x^{2}$ - 16x + 64 -16x + 16x - 128 + 96 = 0

2$x^{2}$ - 16x + 32 = 0  .... kedua ruas dibagi 2

$x^{2}$ - 8x + 16 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = -8

c = 16

D = $(-8)^{2}$ - 4(1 x 16)

D = 64 - 64

terbukti bahwa D = 0 (garis bersinggungan pada lingkaran)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 3:

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $(x-4)^{2}$ + $(y+2)^{2}$ = 4 dengan garis -9x - y = -16 buktikanlah bahwa garis bersinggungan pada lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

-9x - y = -16 

-y = 9x - 16    ... kedua ruas dikali -1

y = -9x + 16

tahap II substitusikan nilai garis y = -9x + 16 kepersamaan lingkaran:

$(x-4)^{2}$ + $(y+2)^{2}$ = 4

$(x-4)^{2}$ + $((-9x + 16) + 2)^{2}$ = 4

$(x-4)^{2}$ + $((-9x + 18)^{2}$ - 4 = 0 

$x^{2}$ - 8x + 16 + 81$x^{2}$ - 162x - 162x + 324 - 4 = 0

82$x^{2}$ - 332x + 336 = 0   kedua ruas dibagi 2

41$x^{2}$ - 166x + 168 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 41

b = -166

c = 168

D = $(-166)^{2}$ - 4(41 x 168)

D = 27.556 - 27.552

D = 4

terbukti bahwa D > 0 (garis bersinggungan pada lingkaran)

grafiknya pada bidang koordinat:

Garis Tidak Memotong Lingkaran

perhatikan gambar dibawah ini:

keterangan:

di gambar diatas terdapat 1 buah lingkaran yang berbentuk $x^{2}$ + $y^{2}$ +Ax + By + C= 0 dan garis lurus y = px + q yang saling berpisah atau tidak saling berpotongan. 

rumus untuk menentukan garis lingkaran pada dua titik adalah:

D = $b^{2}$ - 4ac.

jika D < 0 maka garis tidak memotong lingkaran 

contoh soal 1

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ - 22x - 6y + 126 = 0 dengan garis -x + y = -4 buktikanlah bahwa garis tidak memotong lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

-x + y = -4

y = x - 4

tahap II substitusikan nilai garis y = x - 4 kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ - 22x - 6y + 126 = 0

$x^{2}$ + $(x - 4)^{2}$ - 22x - 6(x - 4) + 126 = 0

$x^{2}$ + $x^{2}$ - 8x + 16 - 22x - 6x + 24 + 126 = 0

2$x^{2}$ - 30x + 166 = 0  kedua ruas dibagi 2

$x^{2}$ - 15x + 83 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = -15

c = 83

D = $(-15)^{2}$ - 4(1 x 83)

D = 225 - 332

D = - 107

terbukti bahwa D < 0 (garis tidak memotong lingkaran)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 2

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}$ + $y^{2}$ + 2x - 2y -2 = 0 dengan garis x + y = 4 buktikanlah bahwa garis tidak memotong lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

x + y = 4

y = -x + 4

tahap II substitusikan nilai garis y = -x + 4 kepersamaan lingkaran:

$x^{2}$ + $y^{2}$ + 2x - 2y -2 = 0

$x^{2}$ + $(-x + 4)^{2}$ + 2x - 2(-x + 4) -2 = 0

$x^{2}$ + $x^{2}$ - 8x + 16 + 2x + 2x - 8 - 2 = 0

2$x^{2}$ - 4x + 6 = 0  kedua ruas dibagi 2

$x^{2}$ - 2x + 3 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 1

b = -2

c = 3

D = $(-2)^{2}$ - 4(1 x 3)

D = 4 - 12

D = -8

terbukti bahwa D < 0 (garis tidak memotong lingkaran)

grafiknya pada bidang koordinat:

contoh soal 3:

diketahui persamaan garis singgung Lingkaran $(x-2)^{2}$ + $(y+2)^{2}$ = 9 dengan garis -2x + y = 2 buktikanlah bahwa garis tidak memotong lingkaran dan gambarkanlah grafiknya pada bidang koordinat.

penyelesaian:

tahap I

-2x + y = 2

y = 2x + 2   

tahap II substitusikan nilai garis y = 2x + 2 kepersamaan lingkaran:

$(x-2)^{2}$ + $(y+2)^{2}$ = 9 

$(x-2)^{2}$ + $(2x + 2+2)^{2}$ - 9 = 0 

$x^{2}$ - 4x + 4 + $(2x + 4)^{2}$ - 9 = 0 

$x^{2}$ - 4x + 4 + 4$x^{2}$ + 16x + 16 - 9 = 0

5$x^{2}$ + 12x + 11 = 0

tahap III tentukan nilai diskriminan dari bentuk persamaan kuadrat a$x^{2}$ + bx + c = 0.

D = $b^{2}$ - 4ac.

a = 5

b = 12

c = 11

D = $(12)^{2}$ - 4(5 x 11)

D = 144 - 220

D = 76

terbukti bahwa D < 0 (garis tidak memotong lingkaran)

grafiknya pada bidang koordinat:

silahkan kunjungi artikel terkait tentang Persamaan Lingkaran: