Cara Menentukan Besar Sudut Segitiga Sembarang Menggunakan Rumus Cosinus

Hello teman-teman kembali lagi kita pada materi Segitiga yaitu: Bagaimana Cara Menentukan besar sudut segitiga Sembarang menggunakan aturan Cosinus. sebelumnya kita sudah membahas mengenai segitiga siku-siku, segitiga sembarang, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi. dan sekarang kita akan membahas tuntas tentang materi menentukan besar sudut pada sebuah segitiga siku-siku menggunakan aturan trigonometri. segitiga merupakan bagian dari macam-macam bangun datar yang memiliki tiga sisi.

Pengertian Cosinus pada besar sudut Segitiga

perhatikan gambar dibawah ini:

sebelumnya kita sudah membahas bagaimana cara menentukan sudut pada segitiga siku-siku menggunakan aturan cosinus dan sekarang kita akan membahas bagaimana cara Menentukan besar sudut segitiga sembarang menggunakan aturan Cosinus. sebelum kita menentukan besar sudut pada segitiga sembarang. kita mengulas sedikit pengertian cosinus yang berhubungan dengan sudut pada segitiga siku-siku.

Pengertian Cosinus

Cosinus adalah perbandingan antara sisi yang mengapit sudut alfa dengan sisi depan sudut siku-siku pada sebuah segitiga siku-siku

Rumus Cosinus

KL = x

KM - y

LM = r

Cos $x^0$  = $\frac{x}{r}$ atau $x^0$  = $cos^{-1}$ $\frac{x}{r}$

Menentukan Besar Sudut Segitiga Semberang Menggunakan Aturan Cosinus

perhatikan gambar dibawah ini:

gambar diatas adalah segitiga sembarang. yang ketiga panjang sisinya berbeda atau tidak sama panjang dan masing-masing sudutnya juga tidak sama besar. sering ditulis dalam bentuk $\angle$P $\not\neq$ $\angle$Q $\not\neq$ $\angle$R dan PQ $\not\neq$ QR $\not\neq$ PR. untuk menentukan besar sudut dalam segitiga sembarang dapat kita cari jika sisi-sisinya diketahui.

rumus mencari sudut segitiga PQR adalah nilai sudut P, sudut Q, dan sudut R. yaitu:

sudut R didepan sisinya adalah panjang PQ maka rumusnya:

keterangan:

sudut R = $r^{0}$ 

$PQ^{2}$ = $PR^{2}$ + $QR^{2}$ - 2(PR)(QR) cos $r^{0}$

2(PR)(QR) cos $r^{0}$ = $PR^{2}$ + $QR^{2}$ - $PQ^{2}$

cos $r^{0}$ = $\frac{(PR)^2 + (QR)^2) - (PQ)^2}{2(PR)(QR)}$

$r^{0}$ =  $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(QR)^2-(PQ)^2}{2(PR)(QR)}\right]}$ 

atau 

$\angle$R = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(QR)^2-(PQ)^2}{2(PR)(QR)}\right]}$ 

didepan sudut P sisinya adalah panjang QR maka rumusnya:

keterangan:

sudut P = $p^{0}$ 

$QR^{2}$ = $PR^{2}$ + $PQ^{2}$ - 2(PR)(PQ) cos $p^{0}$

2(PR)(PQ) cos $p^{0}$ = $PR^{2}$ + $PQ^{2}$ - $QR^{2}$

cos $p^{0}$ = $\frac{(PR)^2 + (PQ)^2) - (QR)^2}{2(PR)(PQ)}$

$p^{0}$ =  $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(PQ)^2-(QR)^2}{2(PR)(PQ)}\right]}$ 

atau 

$\angle$P = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(PQ)^2-(QR)^2}{2(PR)(PQ)}\right]}$ 

didepan sudut Q sisinya adalah panjang PR maka rumusnya:

keterangan:

sudut Q = $q^{0}$ 

$PR^{2}$ = $QR^{2}$ + $PQ^{2}$ - 2(QR)(PQ) cos $q^{0}$

2(QR)(PQ) cos $q^{0}$ = $QR^{2}$ + $PQ^{2}$ - $PR^{2}$

cos $q^{0}$ = $\frac{(QR)^2 + (PQ)^2) - (PR)^2}{2(QR)(PQ)}$

$q^{0}$ =  $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(QR)^2+(PQ)^2-(PR)^2}{2(QR)(PQ)}\right]}$ 

atau 

$\angle$Q = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(QR)^2+(PQ)^2-(PR)^2}{2(QR)(PQ)}\right]}$ 

Latihan Soal Menentukan Besar Sudut pada Segitiga Sembarang Menggunakan Rumus Cosinus

1. perhatikan gambar dibawah ini:

pada $\triangle$ABC jika diketahui panjang AB = 14 cm, panjang AC = 15 cm, dan panjang BC = 13 cm, sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AB. tentukanlah besar:

a. $\angle$A

b. $\angle$B

c. $\angle$C

jawaban:

a. $\angle$A

AB = 14 cm

AC = 15 cm

BC = 13 cm

maka sudut A

sudut A = $a^{0}$ 

$BC^{2}$ = $AC^{2}$ + $AB^{2}$ - 2(AC)(AB) cos $a^{0}$

2(AC)(AB) cos $a^{0}$ = $AC^{2}$ + $AB^{2}$ - $BC^{2}$

cos $r^{0}$ = $\frac{(AC)^2 + (AB)^2) - (BC)^2}{2(AC)(BC)}$

$\angle$A = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(AC)^2+(AB)^2-(BC)^2}{2(AC)(AB)}\right]}$ 

$\angle$A = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(15)^2+(14)^2-(13)^2}{2(15)(14)}\right]}$ 

$\angle$A = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{225 + 196 -169}{(30)(14)}\right]}$

$\angle$A = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{421 -169}{420}\right]}$

$\angle$A = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{252}{420}\right]}$

$\angle$A = $cos^{-1}$ (0,6)

$\angle$A = $53,13^{0}$ 

untuk menentukan besar $\angle$A  dibantu dengan menggunakan kalkulator.

langkah-langkahnya:

ketik angka 0,6 kemudian dibagian Kalculator tekan $2^{nd}$ seperti tampak pada gambar dibawah ini

kemudian pilih $cos^{-1}$ seperti gambar dibawah ini:

maka sudut A adalah $53,13^0$

b. $\angle$B

AB = 14 cm

AC = 15 cm

BC = 13 cm

maka sudut A

sudut B = $b^{0}$ 

$AC^{2}$ = $AB^{2}$ + $BC^{2}$ - 2(AB)(BC) cos $b^{0}$

2(AB)(BC) cos $b^{0}$ = $AB^{2}$ + $BC^{2}$ - $AC^{2}$

cos $b^{0}$ = $\frac{(AB)^2 + (BC)^2) - (AC)^2}{2(AB)(BC)}$

$\angle$B = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(AB)^2+(BC)^2-(AC)^2}{2(AB)(BC)}\right]}$ 

$\angle$B = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(14)^2+(13)^2-(15)^2}{2(14)(13)}\right]}$ 

$\angle$B = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{196 + 169 -225}{(28)(13)}\right]}$

$\angle$B = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{365 -225}{364}\right]}$

$\angle$B = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{140}{364}\right]}$

$\angle$B = $cos^{-1}$ (0,38)

$\angle$B = $67,67^{0}$ 

untuk menentukan besar $\angle$B  dibantu dengan menggunakan kalkulator.

langkah-langkahnya:

ketik angka 0,38 kemudian dibagian Kalculator tekan $2^{nd}$ seperti tampak pada gambar dibawah ini

kemudian pilih $cos^{-1}$ seperti gambar dibawah ini:

maka sudut A adalah $67,67^0$

c. $\angle$C

AB = 14 cm

AC = 15 cm

BC = 13 cm

maka sudut A

sudut C = $c^{0}$ 

$AB^{2}$ = $AC^{2}$ + $BC^{2}$ - 2(AC)(BC) cos $c^{0}$

2(AC)(BC) cos $c^{0}$ =  $AC^{2}$ + $BC^{2}$ - $AB^{2}$

cos $c^{0}$ = $\frac{(AC)^2 + (BC)^2) - (AB)^2}{2(AC)(BC)}$

$\angle$C = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(AC)^2+(BC)^2-(AB)^2}{2(AC)(BC)}\right]}$ 

$\angle$C = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(15)^2+(13)^2-(14)^2}{2(15)(13)}\right]}$ 

$\angle$C = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{225 + 169 -196}{(30)(13)}\right]}$

$\angle$C = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{394 -196}{390}\right]}$

$\angle$C = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{198}{390}\right]}$

$\angle$C = $cos^{-1}$ (0,51)

$\angle$C = $59,2^{0}$ 

untuk menentukan besar $\angle$c  dibantu dengan menggunakan kalkulator sama halnya dengan cara menentukan sudut A dan sudut B

2. perhatikan gambar dibawah ini:

pada $\triangle$PQR jika diketahui panjang PR = 14 cm, panjang QR = 20 cm, dan panjang PQ = 25 cm. tentukanlah besar $\angle$A, $\angle$B, $\angle$C

jawaban:

PR = 14 cm

QR = 20 cm

PQ = 25 cm

sudut R didepan sisinya adalah panjang PQ maka rumusnya:

keterangan:

sudut R = $r^{0}$ 

$PQ^{2}$ = $PR^{2}$ + $QR^{2}$ - 2(PR)(QR) cos $r^{0}$

2(PR)(QR) cos $r^{0}$ = $PR^{2}$ + $QR^{2}$ - $PQ^{2}$

cos $r^{0}$ = $\frac{(PR)^2 + (QR)^2) - (PQ)^2}{2(PR)(QR)}$

$r^{0}$ =  $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(QR)^2-(PQ)^2}{2(PR)(QR)}\right]}$ 

atau 

$\angle$R = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(QR)^2-(PQ)^2}{2(PR)(QR)}\right]}$ 

$\angle$R = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(14)^2+(20)^2-(25)^2}{2(15)(20)}\right]}$ 

$\angle$R = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{196+ 400-625}{(30)(20)}\right]}$ 

$\angle$R = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{596-625}{600}\right]}$ 

$\angle$R = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{-29}{600}\right]}$

$\angle$R = $cos^{-1}$ (-0,05)

$\angle$R = $92,77^{0}$ 

didepan sudut P sisinya adalah panjang QR maka rumusnya:

keterangan:

sudut P = $p^{0}$ 

$QR^{2}$ = $PR^{2}$ + $PQ^{2}$ - 2(PR)(PQ) cos $p^{0}$

2(PR)(PQ) cos $p^{0}$ = $PR^{2}$ + $PQ^{2}$ - $QR^{2}$

cos $p^{0}$ = $\frac{(PR)^2 + (PQ)^2) - (QR)^2}{2(PR)(PQ)}$

$p^{0}$ =  $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(PQ)^2-(QR)^2}{2(PR)(PQ)}\right]}$ 

atau 

$\angle$P = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(PR)^2+(PQ)^2-(QR)^2}{2(PR)(PQ)}\right]}$ 

$\angle$P = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{(14)^2+(25)^2-(20)^2}{2(14)(25)}\right]}$ 

$\angle$P = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{196+625-400}{(14)(50)}\right]}$ 

$\angle$P = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{821-400}{700}\right]}$ 

$\angle$P = $cos^{-1}$ ${\left [\frac{421}{700}\right]}$ 

$\angle$P = $cos^{-1}$ (0,60)

$\angle$R = $53,03^{0}$

didepan sudut Q sisinya adalah panjang PR maka rumusnya:

$\angle$Q = $180^{0}$ - ($\angle$P + $\angle$R)

$\angle$Q = $180^{0}$ - ($92,77^{0}$  + $53,03^{0}$)

$\angle$Q = $180^{0}$ - ($145,8^{0}$)

$\angle$Q = $34,2^{0}$

Saran dan Kritik

Demikianlah matari mengenai segitiga yaitu Cara Menentukan Besar Sudut Segitiga Sembarang Menggunakan Rumus Cosinus. materi segitiga merupakan macam-macam Bangun Datar. tentunya banyak kekurangan dan kelemahan penulis, penulis banyak berharap kepada para pembaca memberikan kritik saran yang membangun demi sempurnya artikel ini. terimakasih.

silahkan kunjungi artikel terkait materi Segitiga: