Bagaimana Cara Menentukan Garis Bagi pada Segitiga

Hello teman-teman kembali lagi kita pada materi Segitiga yaitu: Bagaimana Cara Menentukan panjang garis bagi pada segitiga. sebelumnya kita sudah membahas mengenai segitiga siku-siku, segitiga sembarang, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi. dan sekarang kita akan membahas tuntas tentang materi garis bagi pada sebuah segitiga. segitiga merupakan bagian dari macam-macam bangun datar yang memiliki tiga sisi. 

Pengertian Garis Bagi Pada Segitiga 

perhatikan gambar dibawah ini:

pada gambar diatas, terdapat sebuah segitiga yang memiliki 4 buah garis yaitu garis PL, garis RQ, garis PQ, dan garis RS. dan memiliki 4 buah titik yaitu titik P, titik Q, titik R, titik S. pada segitiga PQR didalamnya terdapat 2 buah segitiga. panjang garis PQ, panjang garis PR, dan panjang garis QR merupakan sisi-sisi segitiga PQR. garis RS membagi sudut $\angle$PRQ menjadi dua bagian yang saling kongruen atau sama besar yaitu $\angle$PRS dan $\angle$SRQ.

kesimpulan pengertian garis bagi pada segitiga:

garis bagi suatu segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga dan membagi sudut menjadi dua bagian yang saling kongruen atau sama besar.

Menentukan Garis Bagi Pada Segitiga 

perhatikan gambar dibawah ini:

garis RS membagi sudut $\angle$PRQ menjadi dua bagian yang saling kongruen yaitu $\angle$PRS dan $\angle$SRQ

keterangan:

panjang PQ = r 

Panjang PR = q

Panjang QR = p

Panjang PS = x

Panjang QS = y

panjang RS = garis bagi

panjang WR = tinggi segitiga PRQ

panjang RS = b

karena $\angle$PRS = $\angle$SRQ maka untuk menentukan rumus garis bagi sama halnya dengan cara menentukan garis berat sehingga:

x + y = r

y = r - x

x = r - y

$\frac{q}{p}$ = $\frac{x}{y}$

qy = py ..................................... persamaan I

menggunakan teorema Stewart:

$q^{2}$y + $p^{2}$x = r ($b^{2}$ + xy)

r ($b^{2}$ + xy) = $q^{2}$y + $p^{2}$x 

$b^{2}$ + xy = $\frac{q^{2}y + p^{2}x}{r}$

$b^{2}$ + xy = $\frac{q^{2}y + p^{2}x}{x + y}$

$b^{2}$ + xy = $\frac{qpy + qpx}{x + y}$ 

$b^{2}$ + xy = $\frac{qp (y + x)}{(x + y)}$

$b^{2}$ + xy = qp

$b^{2}$ = qp - xy .............. persamaan II

nilai x didapat dari perbandingan:

x = $\frac{qr}{p+q}$

nilai x didapat dari perbandingan:

y = $\frac{pr}{p+q}$

substitusikan nilai y dan x ke persamaan ke II:

$b^{2}$ = qp - xy 

$b^{2}$ = qp - $\frac{qr}{p+q}$ x $\frac{pr}{p+q}$

$b^{2}$ = qp - $\frac{(qp)r^2}{(p+q)^2}$ 

$b^{2}$ = qp $\left [ 1-\frac{r^2}{(p+q)^2} \right]$

b = $\sqrt{qp \left [ 1-\frac{r^2}{(p+q)^2} \right]}$

garis bagi yaitu panjang RS atau garis b dimana RS = b

rumus garis bagi segitiga PQR yaitu:

b = $\sqrt{qp \left [ 1-\frac{r^2}{(p+q)^2} \right]}$

atau

RS  = $\sqrt{(PR)(QR) \left [ 1-\frac{(PQ)^2}{(QR+PR)^2} \right]}$

Soal Latihan Panjang Garis Bagi pada Segitiga

contoh soal 1:

perhatikan gambar dibawah ini:

diketahui panjang AC = 8 cm, panjang BC = 6 cm, dan panjang AB = 10 cm. tentukanlah panjang garis bagi CD pada $\triangle$ABC...?

penyelesaian:

Panjang AC = 8 cm

Panjang BC = 6 cm

Panjang AB = 10 cm

Panjang garis bagi CD ..........?

CD  = $\sqrt{(AC)(BC) \left [ 1-\frac{(AB)^2}{(AC+BC)^2} \right]}$

CD  = $\sqrt{(8)(6) \left [ 1-\frac{(10)^2}{(8+6)^2} \right]}$

CD  = $\sqrt{(48) \left [ 1-\frac{(10)(10)}{(14)(14)} \right]}$

CD  = $\sqrt{(48) \left [ 1-\frac{(5)(5)}{(7)(7)} \right]}$

CD  = $\sqrt{(48) \left [ 1-\frac{(25)}{(49)} \right]}$

CD  = $\sqrt{(48) \left [\frac{49 - 25}{49} \right]}$

CD  = $\sqrt{(48) \left [\frac{24}{49} \right]}$

CD  = $\sqrt{(2.24) \left [\frac{24}{49} \right]}$

CD  = $\frac{24}{7}$ $\sqrt{2}$

Jadi, panjang garis bagi CD = $\frac{24}{7}$ $\sqrt{2}$

contoh soal 2:

perhatikan gambar dibawah ini:

diketahui panjang AC = 8 cm, panjang BC = 6 cm, dan panjang AB = 10 cm. tentukanlah panjang garis bagi AD pada $\triangle$ABC...?

penyelesaian:

Panjang AC = 8 cm

Panjang BC = 6 cm

Panjang AB = 10 cm

Panjang garis bagi CD ..........?

CD  = $\sqrt{(AC)(AB) \left [ 1-\frac{(BC)^2}{(AC+AB)^2} \right]}$

CD  = $\sqrt{(8)(10) \left [ 1-\frac{(6)^2}{(8+10)^2} \right]}$

CD  = $\sqrt{(80) \left [ 1-\frac{(6)(6)}{(18)(18)} \right]}$

CD  = $\sqrt{(80) \left [ 1-\frac{(1)(1)}{(3)(3)} \right]}$

CD  = $\sqrt{(80) \left [ 1-\frac{(1)}{(9)} \right]}$

CD  = $\sqrt{(80) \left [\frac{9 - 1}{9} \right]}$

CD  = $\sqrt{(80) \left [\frac{8}{9} \right]}$

CD  = $\sqrt{(8.10) \left [\frac{8}{9} \right]}$

CD  = $\frac{8}{3}$ $\sqrt{10}$

Jadi, panjang garis bagi CD = $\frac{8}{3}$ $\sqrt{10}$

contoh soal 3:

perhatikan gambar dibawah ini:

diketahui panjang PR = 13 cm, panjang QR = 15 cm, dan panjang PQ = 14 cm. tentukanlah panjang garis bagi RS pada $\triangle$PQR...?

penyelesaian:

Panjang PR = 13 cm

Panjang QR = 15 cm

Panjang PQ = 14 cm

Panjang garis bagi RS ..........?

RS  = $\sqrt{(PR)(QR) \left [ 1-\frac{(PQ)^2}{(PR+QR)^2} \right]}$

RS  = $\sqrt{(13)(15) \left [ 1-\frac{(14)^2}{(13+15)^2} \right]}$

RS  = $\sqrt{(195) \left [ 1-\frac{(14)(14)}{(28)(28)} \right]}$

RS  = $\sqrt{(195) \left [ 1-\frac{(1)(1)}{(2)(2)} \right]}$

RS  = $\sqrt{(195) \left [ 1-\frac{(1)}{(4)} \right]}$

RS  = $\sqrt{(195) \left [\frac{4 - 1}{4} \right]}$

RS  = $\sqrt{(195) \left [\frac{3}{4} \right]}$

RS  = $\sqrt{(3.65) \left [\frac{3}{4} \right]}$

RS  = $\frac{3}{2}$ $\sqrt{65}$

Jadi, panjang garis bagi RS = $\frac{3}{2}$ $\sqrt{65}$

contoh soal 4:

perhatikan gambar dibawah ini:

diketahui segitiga ABC panjang AD = 9 cm, panjang BD = 16 cm, panjang CD = 12 cm, CD merupakan garis tinggi segitiga ABC, panjang CD tegak lurus dengan AB, tentukanlah panjang garis bagi AE pada segitiga ABC.............?

penyelesaian:

langkah pertama tentukanlah panjang AC dan panjang BC dengan menggunakan rumus teorema pythagoras:

Panjang AC .................?

AD = 9 cm

DC = 12 cm

AC = ...?

AC = $\sqrt{(AD)^2+ (CD)^2}$

AC = $\sqrt{(9)^2+ (12)^2}$

AC = $\sqrt{81+ 144}$

AC = $\sqrt{225}$

AC = 15 cm

Panjang BC .................?

CD = 12 cm

BD = 16 cm

BC = ...?

BC = $\sqrt{(BD)^2+ (CD)^2}$

BC = $\sqrt{(16)^2+ (12)^2}$

BC = $\sqrt{256+ 144}$

BC = $\sqrt{400}$

BC = 20 cm

Panjang garis bagi AE ..........?

AC = 15 cm

BC = 20 cm

AB = (9 + 16) cm = 25 cm

AE  = $\sqrt{(AC)(AB) \left [ 1-\frac{(BC)^2}{(AC+AB)^2} \right]}$

AE  = $\sqrt{(15)(25) \left [ 1-\frac{(20)^2}{(15+25)^2} \right]}$

AE = $\sqrt{(15)(5.5) \left [ 1-\frac{(20)(20)}{(40)(40)} \right]}$

AE  = 5$\sqrt{(15) \left [ 1-\frac{(1)(1)}{(2)(2)} \right]}$

AE  = 5$\sqrt{(15) \left [ 1-\frac{(1)}{(4)} \right]}$

AE  = 5$\sqrt{(15) \left [\frac{4 - 1}{4} \right]}$

AE  = 5$\sqrt{(5.3) \left [\frac{3}{4} \right]}$

AE  = $\frac{5.3}{2}$ $\sqrt{5}$

AE  = $\frac{15}{2}$ $\sqrt{5}$

Jadi, panjang garis bagi AE = $\frac{15}{2}$ $\sqrt{5}$

contoh soal 5:

perhatikan gambar dibawah ini:

diketahui panjang PR = 15 cm, panjang QR = 20 cm, dan panjang PQ = 25 cm. tentukanlah panjang garis bagi RX pada $\triangle$PQR...?

penyelesaian:

Panjang PR = 15 cm

Panjang QR = 20 cm

Panjang PQ = 25 cm

Panjang garis bagi RX ..........?

RX  = $\sqrt{(PR)(QR) \left [ 1-\frac{(PQ)^2}{(PR+QR)^2} \right]}$

RX  = $\sqrt{(15)(20) \left [ 1-\frac{(25)^2}{(15+20)^2} \right]}$

RX = $\sqrt{(5.3)(5.4) \left [ 1-\frac{(25)(25)}{(35)(35)} \right]}$

RX  = 5$\sqrt{(12) \left [ 1-\frac{(5)(5)}{(7)(7)} \right]}$

RX  = 5$\sqrt{(12) \left [ 1-\frac{(25)}{(49)} \right]}$

RX  = 5$\sqrt{(12) \left [\frac{49 - 25}{49} \right]}$

RX = 5$\sqrt{(12) \left [\frac{24}{49} \right]}$

RX  = 5$\sqrt{(12) \left [\frac{2.12}{49} \right]}$

RX  = $\frac{5.12}{7}$ $\sqrt{2}$

RX = $\frac{60}{7}$ $\sqrt{2}$

Jadi, panjang garis bagi AE = $\frac{60}{7}$ $\sqrt{2}$

Saran dan Kritik

Demikianlah matari mengenai segitiga yaitu Menentukan panjang garis bagi pada segitiga. materi segitiga merupakan macam-macam Bangun Datar. tentunya banyak kekurangan dan kelemahan penulis, penulis banyak berharap kepada para pembaca memberikan kritik saran yang membangun demi sempurnya artikel ini. terimakasih. 

silahkan kunjungi artikel terkait materi Segitiga: