Menghitung Tinggi, Keliling, dan Luas pada Segitiga Sembarang

hello teman-teman kembali lagi kita pada materi Segitiga Sembarang yaitu: Bagaimana Cara Menentukan Tinggi Segitiga Sembarang, Panjang Salah Sisi yang tidak Diketahui pada Segitiga Sembarang, Menentukan Keliling Segitiga Sembarang, dan Menghitung Luas pada Segitiga Sembarang. sebelumnya kita sudah membahas mengenai segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki. dan sekarang kita akan membahas tuntas mengenai segitiga Sembarang. Segitiga Sembarang merupakan bagian dari macam-macam bangun datar yang memiliki tiga sisi.

Pengertian Segitiga Sembarang

perhatikan gambar dibawah ini:

gambar diatas merupakan segitiga sembarang. segitiga sembarang ABC memiliki tiga sudut yaitu sudut A, sudut B, dan sudut C. konsep dasar menamai sisi didepan sudut yaitu:

• sudut A, sisi didepan sudut A dinamai dengan huruf kecil a yaitu panjang BC = a
• sudut B, sisi didepan sudut B dinamai dengan huruf  kecil b yaitu panjang AC = b
• sudut C, sisi didepan sudut C dinamai dengan huruf kecil c yaitu panjang AB = c

jumlah sudut segitiga sembarang ABC adalah $180^{0}$. jadi konsep besar sudut $\triangle$ABC yaitu:

• $\angle$BAC = $180^{0}$ - ($\angle$ABC + $\angle$ACB)
• $\angle$ABC = $180^{0}$ - ($\angle$BAC + $\angle$ACB)
• $\angle$ACB = $180^{0}$ - ($\angle$BAC + $\angle$ABC)

sehingga, pengertian segitiga sembarang 

segitiga sembarang adalah bangun datar segitiga yang panjang ketiga sisinya dan sudutnya tidak sama besar atau tidak kongruen.

Sifat-Sifat Segitiga Sembarang

Sifat-Sifat Segitiga Sembarang yaitu:

• panjang ketiga sisinya tidak sama panjang atau kongruen
• besar ketiga sudutnya tidak sama atau kongruen
• jumlah keseluruhan sudutnya 180 derajat

Menentukan Tinggi Segitiga Sembarang

konsep dasar menentukan alas dan tinggi berdasarkan panjang sisinya. yaitu:

• jika sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AB
• jika sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AC
• jika sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang BC

gambar pertama

ada dua cara menentukan Tinggi segitiga ABC:

cara I:

jika sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AB:

keterangan:

AB = alas segitiga $\triangle$ABC

CD = tinggi segitiga $\triangle$ABC

pada garis CD membagi dua buah segitiga kecil siku-siku didalam  $\triangle$ABC yaitu $\triangle$ADC dan $\triangleBDC. $\triangle$ADC dan $\triangle$BDC adalah sudut siku-siku

sehingga rumus menentukan tinggi segitiga menggunakan rumus teorema pythagoras.

tinggi pada $\triangle$ADC:

DC = t

DB = (AB - DB) atau misalkan 

DB = x

t merupakan tinggi segitiga $\triangle$ADC, rumus tingginya:

t = $\sqrt{(AC)^2 - ((AB - DB)^2)}$

t = $\sqrt{(AC)^2 - x^2}$

tinggi pada $\triangle$CDB:

DC = t

AD = c - x 

t merupakan tinggi segitiga $\triangle$CDB, rumus tingginya:

t = $\sqrt{(BC)^2 - (c-x)^2}$

jadi untuk menentukan tinggi segitiga ABC lakukan substitusi. $t_{ADC}$ = $t_{CDB}$

cara II:

jika sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AB:

keterangan:

AB = alas segitiga $\triangle$ABC

CD = tinggi segitiga $\triangle$ABC

untuk menentukan tinggi segitiga carilah nilai x:

x = $ \frac{(BC)^2 + (AB)^2 - (AC)^2}{2(AB)}$ 

sehingga tinggi segitiga $\triangle$ABC:

t = $\sqrt{(BC)^2 - (x)^2}$ 

atau dengan cara lain: 

t = $\sqrt{(AC)^2 - (AB - x)^2}$ 

Contoh Soal : Menentukan Tinggi Segitiga Sama Sembarang

perhatikan gambar dibawah ini:

jika diketahui panjang AB = 14 cm, panjang AC = 15 cm, dan panjang BC = 13 cm, sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AB. tentukanlah tinggi $\triangle$ABC?

penyelesaian:

keterangan:

AB = 14 cm

AC = 15

BC = 13

CD = tinggi segitiga $\triangle$ABC

pada garis CD membagi dua buah segitiga kecil siku-siku didalam  $\triangle$ABC yaitu $\triangle$ADC dan $\triangle$BDC. $\triangle$ADC dan $\triangle$BDC adalah sudut siku-siku.

sehingga rumus menentukan tinggi segitiga menggunakan rumus teorema pythagoras.

tinggi pada $\triangle$ADC:

DC = t

AD = x

t merupakan tinggi segitiga $\triangle$ADC, rumus tingginya:

t = $\sqrt{(AC)^2 - x^2}$

t = $\sqrt{(15)^2 - x^2}$

tinggi pada $\triangle$CDB:

DC = t

DB = 14 - x 

t merupakan tinggi segitiga $\triangle$CDB, rumus tingginya:

t = $\sqrt{(13)^2 - (14-x)^2}$

jadi untuk menentukan tinggi segitiga ABC lakukan substitusi. $t_{ADC}$ = $t_{CDB}$

$t_{ADC}$  = $\sqrt{(15)^2 - x^2}$

$t_{CDB}$ = $\sqrt{(13)^2 - (14-x)^2}$

Maka:

$t_{ADC}$  = $t_{CDB}$

$\sqrt{(15)^2 - x^2}$ = $\sqrt{(13)^2 - (14-x)^2}$   ............kedua ruas di kuadratkan sehingga:

${15^2-x^2}$ = ${13^2-(14-x)^2}$

225 -$x^{2}$ = 169 - ${(14-x)^2}$

225 -$x^{2}$ = 169 - ${(196- 14x - 14x + x^2)}$

225 -$x^{2}$ = 169 - ${(196- 28x + x^2)}$

225 -$x^{2}$ = 169 - 196 + 28x - $x^2$

225 -$x^{2}$ = -27 + 28x - $x^2$

225 + 27 + $x^2$ -$x^{2}$ = 28x 

252 = 28x

28x = 252

x = $\frac{252}{28}$

x = 9

untuk menentukan tinggi segitiga ABC lakukan substitusi ke bentuk $t_{ADC}$ atau $t_{CDB}$

pembuktian: $t_{ADB}$ = $t_{CDB}$

substitusi pada $t_{ADB}$:

$t_{ADC}$  =  $\sqrt{15^2 - x^2}$

$t_{ADC}$  =  $\sqrt{15^2 - 9^2}$

$t_{ADC}$  =  $\sqrt{225 - 81}$

$t_{ADC}$  =  $\sqrt{144}$

$t_{ADC}$  = 12 cm

substitusi pada $t_{CDB}$:

$t_{CDB}$ = $\sqrt{13^2 - (14-x)^2}$

$t_{CDB}$ = $\sqrt{13^2 - (14-9)^2}$

$t_{CDB}$ = $\sqrt{169 - 5^2}$

$t_{CDB}$ = $\sqrt{169 - 25}$

$t_{CDB}$ = $\sqrt{144}$

$t_{CDB}$ = 12 cm

sehingga tinggi segitiga ABC = 12 cm

cara II:

jika sisi alas $\triangle$ABC berada pada panjang AB:

keterangan:

AB = 14 cm, AC = 15 cm, BC = 13 cm

AB = alas segitiga $\triangle$ABC

CD = tinggi segitiga $\triangle$ABC

untuk menentukan tinggi segitiga carilah nilai x:

x = $ \frac{(BC)^2 + (AB)^2 - (AC)^2}{2(AB)}$ 

x = $ \frac{(13)^2 + (14)^2 - (15)^2}{2(14)}$ 

x = $ \frac{169 + 196 - 225}{28}$ 

x = $ \frac{140}{28}$ 

x = 5

sehingga tinggi segitiga $\triangle$ABC:

t = $\sqrt{(BC)^2 - (x)^2}$

t = $\sqrt{(13)^2 - (5)^2}$

t = $\sqrt{169 - 25}$

t = $\sqrt{144}$

t = 12 cm

jadi tinggi $\triangle$ABC adalah 12 cm

Menentukan Keliling Segitiga Sembarang

Contoh Soal 1

sebuah segitiga mempunyai panjang sisi 2 cm, 3 cm, dan 4 cm. tentukanlah keliling segitiga ABC...?

penyelesaian:

Keliling $\triangle$ABC = jumlah keseluruhan tiga sisinya

Keliling $\triangle$ABC = 2 cm + 3 cm + 4 cm

Keliling $\triangle$ABC = 5 cm

Contoh Soal 2

perhatikan gambar dibawah ini:

tentukanlah keliling segitiga....?

penyelesaian:

Keliling Segitiga = jumlah keseluruhan ketiga sisinya

Keliling Segitiga = 13 cm + 7 cm + 15 cm

Keliling Segitiga = 20 cm

Menentukan Luas Segitiga Sembarang 

perhatikan gambar dibawah ini:

keterangan:

panjang AB = c

panjang AC = b

panjang BC = a

Keliling = K

untuk menentukan luas segitiga tentukan nilai s.

s merupakan setengah dari keliling $\triangle$ABC

K = a + b + c

S = $ \frac{1}{2}$ K

sehingga 

Luas $\triangle$ABC = $\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$

contoh soal 1:

perhatikan gambar dibawah ini:

tentukanlah luas segitiga $\triangle$ABC...?

penyelesaian:

untuk menyelesaiankan soal diatas ada dua cara yaitu:

cara pertama:

panjang AB = c = 10 cm

panjang AC = b = 8 cm

panjang BC = a = 6 cm

Keliling = K

tentukanlah keliling  $\triangle$ABC

K = a + b + c

K = 6 + 8 + 10 

K = 24 cm

tentukan nilai S. S merupakan setengah dari keliling $\triangle$ABC

S = $ \frac{1}{2}$ K

S = $ \frac{1}{2}$ 24

S = 12

terakhir tentukanlah luas $\triangle$ABC:

Luas $\triangle$ABC = $\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}$

Luas $\triangle$ABC = $\sqrt{12(12-6)(12-8)(12-10)}$

Luas $\triangle$ABC = $\sqrt{12(6)(4)(2)}$

Luas $\triangle$ABC = $\sqrt{(2.6) (6)(4)(2)}$

Luas $\triangle$ABC = (2.6)$\sqrt{(4)}$

Luas $\triangle$ABC = 12 x 2

Luas $\triangle$ABC = 24 

jadi, Luas $\triangle$ABC = 24 $cm^2$

cara kedua:

jika panjang AB merupakan alas segitiga maka CD merupakan tinggi segitiga $\triangle$ABC

t = CD

DB = x

AB = 10 cm

AC = 8 cm

BC = 6 cm

untuk menentukan tinggi segitiga carilah nilai x:

x = $ \frac{(BC)^2 + (AB)^2 - (AC)^2}{2(AB)}$ 

x = $ \frac{(6)^2 + (10)^2 - (8)^2}{2(10)}$ 

x = $ \frac{36 + 100 - 64}{20}$ 

x = $ \frac{72}{20}$ 

x =  $ \frac{36}{10}$   ...................pembilang dan penyebut dibagi 2

x =  3,6

sehingga tinggi segitiga $\triangle$ABC:

t = $\sqrt{(BC)^2 - (x)^2}$

t = $\sqrt{(6)^2 - (3,6)^2}$

t = $\sqrt{36 - 12,96}$

t = $\sqrt{23,04}$

t = 4,8

maka luas segitiga $\triangle$ABC

alas = panjang AB = 10 cm

tinggi  = 4,8 cm

luas segitiga $\triangle$ABC =  $ \frac{1}{2}$ (alas x tinggi)

luas segitiga $\triangle$ABC =  $ \frac{1}{2}$ (4,8 x 10)

luas segitiga $\triangle$ABC =  $ \frac{1}{2}$ (48)

luas segitiga $\triangle$ABC =  24 

jadi, cara I dan Cara II terbukti memiliki nilai yang sama yaitu Luas $\triangle$ABC = 24 $cm^2$.

contoh soal 2

perhatikan gambar dibawah ini:

tentukanlah luas segitiga $\triangle$KLM...?

penyelesaian:

untuk menyelesaiankan soal diatas ada dua cara yaitu:

cara pertama:

panjang AB = k = 20 cm

panjang AC = l = 15 cm

panjang BC = m = 25 cm

Keliling = K

tentukanlah keliling  $\triangle$KLM:

Keliling  $\triangle$KLM = k + l + m

Keliling  $\triangle$KLM  = 20 + 15 + 25

Keliling  $\triangle$KLM  = 60 cm

tentukan nilai S. S merupakan setengah dari keliling $\triangle$KLM

S = $ \frac{1}{2}$ Keliling  $\triangle$KLM 

S = $ \frac{1}{2}$ x 60

S = 30

terakhir tentukanlah luas $\triangle$ABC:

Luas $\triangle$KLM  = $\sqrt{S(S-k)(S-l)(S-m)}$

Luas $\triangle$KLM = $\sqrt{30(30-20)(30-15)(30-25)}$

Luas  $\triangle$KLM  = $\sqrt{30(10)(15)(5)}$

Luas  $\triangle$KLM  = $\sqrt{(3.10) (10)(15)(5)}$

Luas  $\triangle$KLM  = (10)$\sqrt{(15)(15)}$

Luas  $\triangle$KLM  = 10 x 15

Luas  $\triangle$KLM  = 150

jadi,  $\triangle$KLM  = 150 $cm^2$

cara kedua:

jika panjang KL merupakan alas segitiga maka MN merupakan tinggi segitiga $\triangle$KLM

t = MN

NL = x

KN = m - x

KM = 15 cm

KL = 25 cm

ML = 20 cm

untuk menentukan tinggi segitiga carilah nilai x:

x = $ \frac{(KL)^2 + (ML)^2 - (KM)^2}{2(KL)}$ 

x = $ \frac{(25)^2 + (20)^2 - (15)^2}{2(25)}$ 

x = $ \frac{625 + 400 - 225}{50}$ 

x = $ \frac{400 + 400}{50}$ 

x = $ \frac{800}{50}$ 

x =  $ \frac{80}{5}$   ...................pembilang dan penyebut dibagi 10

x =  16 cm

untuk menentukan tinggi segitiga  $\triangle$KLM lakukan substitusi ke bentuk $t_{KMN}$ atau $t_{LMN}$

sehingga tinggi segitiga $\triangle$KLM:

t = $\sqrt{(ML)^2 - (x)^2}$

t = $\sqrt{(20)^2 - (16)^2}$

t = $\sqrt{400 - 256}$

t = $\sqrt{144}$

t = 12

sehingga tinggi segitiga $\triangle$LMN:

t = $\sqrt{(KM)^2 - (KL-x)^2}$

t = $\sqrt{(15)^2 - (25-16)^2}$

t = $\sqrt{225 - (9)^2}$

t = $\sqrt{225 - 81}$

t = $\sqrt{144}$

t = 12

maka luas segitiga $\triangle$KLM

alas = panjang KL = 25 cm

tinggi  = 12 cm

luas segitiga $\triangle$KLM =  $ \frac{1}{2}$ (alas x tinggi)

luas segitiga $\triangle$KLM =  $ \frac{1}{2}$ (25 x 12)

luas segitiga $\triangle$KLM =  25 x 6

luas segitiga $\triangle$KLM =  150

jadi, cara I dan Cara II terbukti memiliki nilai yang sama yaitu Luas $\triangle$KLM = 150 $cm^2$.

Saran dan Kritik

Demikianlah matari mengenai segitiga sembarang yaitu Menghitung Tinggi, Keliling, dan Luas pada Segitiga Sembarang. materi segitiga Sembarang merupakan macam-macam Bangun Datar. tentunya banyak kekurangan dan kelemahan penulis, penulis banyak berharap kepada para pembaca memberikan kritik saran yang membangun demi sempurnya artikel ini. terimakasih.

silahkan kunjungi artikel terkait materi Segitiga: