Operasi Aljabar Fungsi Kelas 10

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai Bagaimana Cara Menentukan Operasi Aljabar Fungsi Kelas 10. sebelumnya kita sudah belajar belajar tentang bagaimana cara menentukan fungsi atau relasi beserta defenisinya. Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Pengertian Fungsi

sebuah fungsi f adalah suatu korespondensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal (domain), dengan sebuah nilai tunggal f(x) dari suatu himpuan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasi (range) fungsi.

daerah asal dan daerah hasil untuk menyebutkan suatu fungsi secara lengkap kita harus menyatakan, selain korespondensi daerah hasil fungsi tersebut misalnya: 

contoh soal 1

jika f adalah fungsi yang didefenisikan oleh f(x) = x² + 1 jika {-1 ≤ x ≤ 3} maka tentukan daerah asal dan daerah hasil serta gambarkan fungsi pemetaannya.?

penyelesaian:

Daerah asal x = {-1, 0, 1, 2, 3}

menentukan daerah hasil:

lakukan substitusi nilai x = {-1, 0, 1, 2, 3} pada fungsi f(x) = x² + 1 

● Jika x = -1 ⇒ f(-1) = -1² + 1 ⇒ f(-1) = 1 + 1   ⇒ f(-1) = 2

● Jika x = 0  ⇒ f(0) = 0² + 1   ⇒ f(0) = 0 + 1    ⇒ f(0) = 1

● Jika x = 1  ⇒ f(1) = 1² + 1   ⇒ f(1) = 1 + 1    ⇒ f1) = 2

● Jika x = 2  ⇒ f(2) = 2² + 1   ⇒ f(2) = 4 + 1    ⇒ f(2) = 5

● Jika x = 3  ⇒ f(3) = 3² + 1   ⇒ f(3) = 9 + 1    ⇒ f(3) = 10

Perhatikan gambar fungsi dibawah ini:

Menentukan Daerah Asal Fungsi :

soal 2:

carilah daerah asal alami untuk

a. f(x) = $\frac {1}{x -3}$

b. h(w) = $\frac {1}{\sqrt{9 - w^2}}$

c. g(t) = $\sqrt{9 - t^2}$

penyelesaian:

a. f(x) = $\frac {1}{x -3}$

kita haru mengecualikan 3 dari daerah asal karena akan mengakibatkan pembagian nol. jadi daerah asal alami adalah { x: x ≠ 3}. ini dibaca "himpunan x adalah bilangan real sedemikian rupa sehingga x tidak sama dengan 3"

b. h(w) = $\frac {1}{\sqrt{9 - w^2}}$

sekarang kita harus menghindari pembagian oleh nol dan akar kuadrat dari bilangan negatif, sehingga kita harus mengecualikan -3 dan 3 dari daerah asal alami. karena itu daerah asal alaminya adalah interval (-3, 3)

c. g(t) = $\sqrt{9 - t^2}$

untuk menghindari akar kuadrat dari bilangan negatif. kita harus memilih t sedemikian rupa sehingga 9 -t² ≥ 0. jadi t harus memenuhi |t| ≤ 3. sehingga daerah asal alami adalah {t: |t| ≤ 3} yang dapat dituliskan menggunakan notasi interval sebagai [-3,3]

"Catatan: jika aturan untuk suatu fungsi diberikan oleh sebuah persamaan berbentuk y = f(x), x disebut variabel bebas dan y merupakan variabel terikat (variabel tak bebas). elemen dari daerah asal boleh dipilih sebagai nilai dari variabel bebas x. begitu dipilih nilai x ini benar-benar menentukan nilai korespondensi dari variabel terikat y"

Operasi Aljabar Fungsi

Bila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut:

Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal:

Menentukan Daerah Asal Fungsi :

soal 1:

Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = x² – 4. Tentukan (f + g)(x).

Penyelesaian:

f(x) = x + 2

g(x) = x² – 4

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f + g)(x) = x + 2 + x² – 4

(f + g)(x) = x² + x – 2

soal 2

misalkan f(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$ dan g(x) = $\sqrt{9 - x^2}$, dengan daerah asal alami masing-masing adalah [-1, ∞] dan [-3, 3] tentukan nilai f(x) + g(x) dan berikan daerah asal alaminya:

penyelesaian:

f(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$

g(x) = $\sqrt{9 - x^2}$

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f + g)(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$ + $\sqrt{9 - x^2}$

melakukan pengujian

jika x = -2

(f + g)(-2) = $\sqrt[4]{-2 + 1}$ + $\sqrt{9 - (-2)^2}$

(f + g)(-2) = $\sqrt[4]{-1}$ + $\sqrt{5}$ tidak memenuhi

jika x = -1

(f + g)(-1) = $\sqrt[4]{-1 + 1}$ + $\sqrt{9 - (-1)^2}$

(f + g)(-1) = $\sqrt[4]{0}$ + $\sqrt{8}$ memenuhi

jika x = 0

(f + g)(0) = $\sqrt[4]{0 + 1}$ + $\sqrt{9 - (0)^2}$

(f + g)(0) = $\sqrt[4]{1}$ + $\sqrt{9}$

(f + g)(0) = 4 memenuhi

jika x = 1

(f + g)(1) = $\sqrt[4]{1 + 1}$ + $\sqrt{9 - (1)^2}$

(f + g)(1) = $\sqrt[4]{2}$ + $\sqrt{8}$ memenuhi

jika x = 2

(f + g)(2) = $\sqrt[4]{2 + 1}$ + $\sqrt{9 - (2)^2}$

(f + g)(2) = $\sqrt[4]{3}$ + $\sqrt{5}$ memenuhi

jika x = 3

(f + g)(3) = $\sqrt[4]{3 + 1}$ + $\sqrt{9 - (3)^2}$

(f + g)(3) = $\sqrt[4]{4}$ + 0 memenuhi

jika x = 4

(f + g)(4) = $\sqrt[4]{4 + 1}$ + $\sqrt{9 - (4)^2}$

(f + g)(4) = $\sqrt[4]{5}$ + $\sqrt{-7}$ tidak memenuhi

jadi daerah asal alami pada fungsi f(x) + g(x) yaitu: [-1, 3]

Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x)

Pengurangan f dan g berlaku (f – g)(x) = f(x) – g(x)Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Menentukan Daerah Asal Fungsi :

soal 1:

penyelesaian:

Diketahui f(x) = x² – 3x dan g(x) = 2x + 1. Tentukan (f – g)(x).

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(f – g)(x) = x² – 3x – (2x + 1)

(f – g)(x) = x² – 3x – 2x – 1

(f – g)(x) = x² – 5x – 1

soal 2

misalkan f(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$ dan g(x) = $\sqrt{9 - x^2}$, dengan daerah asal alami masing-masing adalah [-1, ∞] dan [-3, 3] tentukan nilai f(x) - g(x) dan berikan daerah asal alaminya:

penyelesaian:

f(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$

g(x) = $\sqrt{9 - x^2}$

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

(f - g)(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$ - $\sqrt{9 - x^2}$

melakukan pengujian

jika x = -2

(f - g)(-2) = $\sqrt[4]{-2 + 1}$ - $\sqrt{9 - (-2)^2}$

(f - g)(-2) = $\sqrt[4]{-1}$ - $\sqrt{5}$ tidak memenuhi

jika x = -1

(f - g)(-1) = $\sqrt[4]{-1 + 1}$ - $\sqrt{9 - (-1)^2}$

(f - g)(-1) = $\sqrt[4]{0}$ - $\sqrt{8}$ memenuhi

jika x = 0

(f - g)(0) = $\sqrt[4]{0 + 1}$ - $\sqrt{9 - (0)^2}$

(f - g)(0) = $\sqrt[4]{1}$ + $\sqrt{9}$

(f - g)(0) = 4 memenuhi

jika x = 1

(f - g)(1) = $\sqrt[4]{1 + 1}$ - $\sqrt{9 - (1)^2}$

(f - g)(1) = $\sqrt[4]{2}$ + $\sqrt{8}$ memenuhi

jika x = 2

(f - g)(2) = $\sqrt[4]{2 + 1}$ - $\sqrt{9 - (2)^2}$

(f - g)(2) = $\sqrt[4]{3}$ - $\sqrt{5}$ memenuhi

jika x = 3

(f - g)(3) = $\sqrt[4]{3 + 1}$ - $\sqrt{9 - (3)^2}$

(f - g)(3) = $\sqrt[4]{4}$ - 0 memenuhi

jika x = 4

(f - g)(4) = $\sqrt[4]{4 + 1}$ - $\sqrt{9 - (4)^2}$

(f - g)(4) = $\sqrt[4]{5}$ - $\sqrt{-7}$ tidak memenuhi

jadi daerah asal pada fugnsi f(x) + g(x) yaitu: [-1, 3]

Perkalian f dan g berlaku (f ⋅ g)(x) = f(x)⋅ g(x)

Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut.

Mencari nilai (f . g)(x) :

soal 1:
Diketahui f(x) = x – 5 dan g(x) = x² + x. Tentukan (f . g)(x).
Penyelesaian:
(f . g)(x) = f(x) ⋅ g(x)
(f . g)(x) = (x – 5)(x² + x)
(f . g)(x) = x³ + x – 5x² – 5x
(f . g)(x) = x³ – 4x² – 5x

Pembagian f dan g berlaku $\frac {f}{g}$ (x) = $\frac {f(x)}{g(x)}$ 

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal:

Mencari nilai $\frac {f}{g}$ (x) :

soal 1:
Diketahui f(x) = x2 – 4 dan g(x) = x + 2. Tentukan $\frac {f}{g}$ (x).
penyelesaian:
f(x) = x² – 4
g(x) = x + 2
$\frac {f}{g}$ (x) = $\frac {f(x)}{g(x)}$
$\frac {f}{g}$ (x) = $\frac {x² – 4}{x + 2}$
$\frac {f}{g}$ (x) = $\frac {(x + 2) (x -2)}{(x + 2)}$
$\frac {f}{g}$ (x) = x - 2

Perpangkatan f dan g berlaku $f^n(x)$ = $[f(x)]^n$

perhatikan contoh soal dibawah ini

jika diketahui f(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$ tentukan nilai f⁴(x) ...?

penyelesaian

f(x) = $\sqrt[4]{x + 1}$

$f^n(x)$ = $[f(x)]^n$

f⁴(x) = ${(\sqrt[4]{x + 1})}^4$

f⁴(x) = $[x + 1]^{4/4}$

f⁴(x) = x + 1

Silahkan Kunjugi artikel terkait tentang Tentang Fungsi Invers