Bagaimana Cara Menghitung Komposisi Fungsi

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai materi Bagaimana Cara Menghitung Fungsi Komposisi. sebelumnya kita sudah belajar belajar tentang bagaimana cara menentukan fungsi atau relasi beserta defenisinya. Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Pengertian Fungsi Komposisi

sebelum kita masuk pada pengertian tentang fungsi komposisi kita ulas sedikit tentang apa itu fungsi...?

Fungsi, atau disebut juga pemetaan, merupakan sebuah relasi yang khusus. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A, dengan tepat satu anggota B. Dengan demikian, setiap anggota himpunan A mempunyai tepat satu kawandengan anggota himpunan B. Jadi, fungi sudah pasti sebuah relasi, tetapi relasi belum tentu sebuah fungsi. Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan x anggota A ke y anggota B, maka fungsi f dapat dinotasikan sebagai berikut: 

Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan

relasi “dua kali dari”. Tentukan domain, kodomain, dan range fungsinya.

Jawab :

• Domainnya ($D_f$) adalah P = {4, 6, 8, 10}

• Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5}

• Rangenya ($R_f$) adalah {2, 3, 4, 5}

Jika x anggota himpunan A dan y anggota himpunan B, serta fungsi f memetakan x ke y, maka y merupakan peta/bayangan dari x. Pada fungsi

tersebut, himpunan A disebut daerah asal atau domain ($D_f$), himpunan B disebut daerah kawan atau kodomain ($K_f$), sedangkan himpunan semua peta A di B disebut daerah hasil atau range ($R_f$).

jadi,  fungsi komposisi merupakan penggabungan operasi pada dua jenis fungsi. Sebelum itu, kamu tentu harus mengenal dan memahami apa itu fungsi sebegaimana dijelaskan diatas. Fungsi adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B jika setiap anggota himpunan A berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan B. Suatu fungsi atau pemetaan dapat disajikan dalam bentuk himpunan pasangan terurut, rumus, diagram panah, atau diagram cartesius. Fungsi f yang memetakan himpunan A ke himpunan B ditulis dengan notasi: f: A → B. Ada dua jenis fungsi yang perlu kamu pahami, yaitu fungsi komposisi dan fungsi invers. Fungsi komposisi adalah gabungan dari dua fungsi yaitu fungsi f(x) dan g(x)  yang disimbolkan dengan “o“. Sementara itu, Invers memiliki arti “kebalikan” jadi fungsi invers artinya fungsi kebalikan.

Syarat dan Aturan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan

Sebelum Anda mempelajari sifat-sifat operasi fungsi komposisi lebih lanjut, pelajari uraian berikut ini. 

keterangan:

Misalkan f(x) = x² + 1 dengan $D_f$ = {x| x∈R} dan g(x) = $\sqrt{x - 2}$  dengan Dg = {x| x ≥ 2, x∈R} Fungsi komposisi (g ° f)

Mula-mula unsur x ∈ $D_f$ dipetakan oleh f ke bayangan x, yaitu f(x). Kemudian, f(x) dipetakan oleh g ke g(f(x)). Dengan demikian, fungsi komposisi g ° f adalah pemetaan x ∈ $D_f$ oleh fungsi f, kemudian bayangannya dipetakan lagi oleh g. Uraian tersebut memperjelas definisi berikut.

Diketahui, f dan g dua fungsi sebarang maka fungsi komposisi f dan g ditulis g ° f, didefinisikan sebagai (g ° f)(x) = g(f(x)) untuk setiap x ∈ Dg.

Untuk x = 1 Anda peroleh f(x) = 2 yang berada dalam daerah asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) = 2 dapat dipetakan oleh g ke g(f(x)) sebab g(2) = $\sqrt{2 - 2}$ = 0.

Lain halnya jika x = $\frac {1}{2}$ Untuk x = $\frac {1}{2}$ diperoleh: 

f(x) = x² + 1

f($\frac {1}{2}$) = ($\frac {1}{2}$)² + 1 = $\frac {5}{4}$

jika yang berada di luar daerah asal fungsi g. Bayangan x, yaitu f(x) = $\frac {5}{4}$ tidak dapat dipetakan oleh g ke fungsi perhatikan komposisi fungsi g(f(x)):

komposisi g(f(x)) sebab g($\frac {5}{4}$) maka substitusikan ke g(x)

g(x) = $\sqrt{x - 2}$

g($\frac {5}{4}$) = $\sqrt{\frac {5}{4} - 2}$

g($\frac {5}{4}$) = $\sqrt{\frac {5}{4} - 2}$

g($\frac {5}{4}$) = $\sqrt{\frac {5-8}{4}}$

g($\frac {5}{4}$) = $\sqrt{\frac {-3}{4}}$ Nilai ini tidak terdefinisi jika Anda membatasi daerah kerja pada himpunan seluruh bilangan real.

Dari uraian itu dapat dipahami bahwa pemetaan berantai baru dapat dilakukan jika bayangan x jatuh ke dalam daerah asal fungsi g. Dengan

demikian, diperoleh daerah asal fungsi komposisi f ° g adalah $D_{f°g}$ = {x|x ∈ $D_f$, f(x) ∈ Dg}.

Syarat yang harus dipenuhi agar fungsi f dan fungsi g dapat dikomposisikan menjadi fungsi komposisi (g ° f) adalah irisan antara daerah hasil fungsi f dan daerah asal fungsi g bukan himpunan kosong, atau $R_f$ ∩  Dg ≠ Ø.

Sifat-Sifat Komposisi

ada beberapa sifat-sifat komposisi yaitu:

• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi pada umumnya tidak komutatif. 

(f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x)

• Operasi komposisi pada fungsi-fungsi bersifat asosiatif 

(f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x)

• Dalam operasi komposisi pada fungsi-fungsi terdapat sebuah fungsi identitas, yaitu I(x) = x sehingga (f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x)

Pembuktian Rumus: (f ° g)(x) ≠ (g ° f)(x) 

Rumus Fungsi Komposisi : (f ° g) (x) dan (g ° f) (x):

soal 1:
Diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 4x². Tentukan (f ° g) (x) dan (g ° f) (x)...?
Penyelesaian
menentukan nilai (f ° g) (x):
f(x) = x + 3
f(g(x)) = 4x² + 3
menentukan nilai (g ° f) (x):
g(x) = 4x²
g(f(x)) = 4(x + 3)²
g(f(x)) = 4(x + 3)(x + 3)
g(f(x)) = 4(x² + 3x + 3x + 9)
g(f(x)) = 4(x² + 6x + 9)
g(f(x)) = 4x² + 24x + 36
Soal 2
Diketahui f(x) = 2x – 1, g(x) = x² + 2.
menentukan nilai (f ° g) (x):
a. Tentukan (g ° f)(x).
b. Tentukan (f ° g)(x).
c. Apakah berlaku sifat komutatif: g ° f = f ° g?
Penyelesaian:
a. (g ° f)(x) = g(f(x))
g(f(x)) = g(2x – 1)
g(f(x)) = (2x – 1)² + 2
g(f(x)) = 4x² – 4x + 1 + 2
g(f(x)) = 4x² – 4x + 3
b. (f ° g)(x) = f(g(x))
f(g(x)) = f(x² + 2)
f(g(x)) = 4x² + 4 – 1
f(g(x)) = 4x² + 3
c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g ° f ≠ f ° g.
soal 3
Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.
a. (g ° f)(1)
b. (f ° g)(–2)
c. (g ° f)(–3)
Penyelesaian:
Cara 1
a. (g ° f)(x) = g(f(x))
= g(3x – 1)
= (3x – 1)2 + 4
= 9x2 – 6x + 1 + 4
= 9x2 – 6x + 5
(g ° f)(1) = 9 ⋅ 12 – 6 ⋅ 1 + 5
= 9 – 6 + 5 = 8
b. (f ° g)(–2) = f(g(x))
= f(x2 + 4)
= 3(x2 + 4) – 1
= 3x2 + 12 – 1
= 3x2 + 11
(f ° g)(–2) = 3(–2)2 + 11
= 3⋅ 4 + 11
= 12 + 11 = 23
c. (g ° f)(x) = 9x2 – 6x + 5
(g ° f)(–3) = 9(–3)2 – 6 (–3) + 5
= 81 + 18 + 5
= 104
Cara 2
a. (g ° f)(1) = g(f(1))
= g(3 ⋅ 1 – 1)
= g(2)
= 22 + 4 = 8
b. (f ° g) (–2) = f(g(–2))
= f((–2)2 + 4)
= f(8)
= 3⋅ 8 – 1 = 23
c. (g ° f)(–3) = g(f(–3))
= g(3 (–3) – 1)
= g(–10)
= (–10)2 + 4 = 104

Pembuktian rumus (f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x)

Rumus Fungsi Komposisi : (f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x) :

soal 1:
fungsi f(x) = 2x + 1, g(x) = x², dan h(x) = 3x + 5.
Misalkan,
(g ° h) (x) = s(x) maka:
s(x) = (g ° h) (x) = g (h (x)) = g (3x + 5) = (3x + 5)2
= 9x² + 30x + 25
sehingga:
(f ° (g ° h))(x) = (f ° s) (x) = f(s(x)) = f (9x² + 30x + 25)
= 2(9x² + 30x + 25) + 1 = 18x² + 60x + 50 + 1
= 18x² + 60x + 51
Jadi, (f ° g ° h) (x) = 18x² + 60x + 51.
Kemudian, misalkan (f ° g) (x) = t(x) maka
t(x) = (f ° g) (x) = f (g (x)) = f (x²) = 2x² + 1 sehingga
((f ° g) ° h) (x) = (t ° h) (x) = t(h(x)) = t (3x + 5)
= 2(3x + 5)² + 1
= 2(9x² + 30x + 25) + 1 = 18x² + 60x + 51
Jadi, (f ° (g ° h)) (x) = 18x² + 60x + 51.

Pembuktian rumus : (f ° I)(x) = (I ° f)(x) = f(x)

Rumus Fungsi Komposisi : (f ° (g ° h))(x) = ((f ° g) ° h)(x) :

soal 1:
Diketahui f(x) = 5x – 2 dan I(x) = x.
Buktikan I ° f = f ° I = f.
Bukti:
(I ° f)(x) = I(f(x))
= I(5x – 2)
= 5x – 2
(f ° I)(x) = f(I(x))
= f(x)
= 5x – 2
Tampak bahwa I ° f = f ° I = f (terbukti).

artikel terkait tentang Tentang Fungsi Komposisi