Bagaimana Cara Menghitung Beberapa Jenis-Jenis Permutasi Serta Rumusnya

Hello adek-adek kembali lagi kita membahas mengenai materi Permutasi serta Contoh Soal. sebelumnya kita sudah belajar belajar tentang bagaimana cara menghitung perbedaan permutasi dan kombinasi pada peluang. Konsep yang akan adek-adek pelajari pada artikel ini merupakan dasar untuk mempelajari materi selanjutnya untuk lebih jelasnya silahkan baca artikel ini sampai selesai.

Pengertian Permutasi

Arti kata Permutasi menurut kkbi adalah perbuatan atau proses mengubah letak urutan benda; perubahan urutan (angka-angka dsb); 2 Ling proses perubahan deret unsur-unsur kalimat.

Permutasi secara sederhana dapat didefinisikan sebagai beberapa cara untuk mengatur beberapa atau semua anggota dalam urutan tertentu. Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut. 

Permutasi Dengan Beberapa Metode

ada beberapa cara menghitung permutasi dengan beberapa metode yaitu:

a) Aturan Penjumlahan

Jika kegiatan pertama dapat diselesaikan dengan k1 cara, kegiatan kedua dapat dikerjakan dengan k2 cara, dan seterusnya sampai dengan kegiatan ken dapat dikerjakan dengan kn cara, serta semua kegiatan tidak dapat dilakukan secara bersamaan atau berkelanjutan maka banyak kemungkinan cara untuk menyelesaikan semua kegiatan tersebut adalah K, dimana; Konsep aturan penjumlahan dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bidang bisnis dan manajemen. Salah satunya adalah masalah perhitungan banyaknya barang yang terjual di beberapa toko berbeda. 

Contoh Soal :

Dalam suatu kelas, terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

penyelesaian:

misalkan 4 orang bernama : {a, b, c, d} yang menjadi ketua, sekretaris dan bendahara perhatikan gambar dibawah ini:

dari bentuk diagram pohon diatas terdapat beberapa unsur yaitu:

ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BCD CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB

Banyak cara untuk memilih 3 orang = 1 + 1 + 1 +1 + 1 + 1 + 1 + 1 ....+ 1 = 24

Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan urutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatu permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunan itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya disebut permutasi.

b) Aturan Perkalian

Jika kegiatan pertama dapat dikerjakan dengan k1 cara, diikuti kegiatan kedua yang dapat dikerjakan dengan k2 cara dan seterusnya sampai dengan kegiatan ke-n yang dapat dikerjakan dengan kn cara, serta semua kegiatan dapat dilakukan secara bersamaan atau berkelanjutan maka banyak kemungkinan cara untuk menyelesaikan kegiatan tersebut adalah K, dimana;

misalkan:

Dalam suatu kelas, terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.

keterangan:

Untuk menjawab pertanyaan tersebut marilah kita pakai pengisian tempat kosong seperti terlihat pada bagan berikut.

posisi pertama dapat diisi dengan huruf A, B, C, dan D sehingga ada 4 cara

posisi kedua dapat diisi dengan tiga huruf B, C, dan D sehingga ada 3 cara karena 1 cara sudah diisikan pada posisi pertama

posisi ketiga dapat diisi dengan dua huruf C dan D sehingga ada 2 cara karena 2 cara sudah diisikan pada posisi pertama dan kedua

maka:

Banyak cara untuk memilih 3 orang = 4 x 3 x 2

Banyak cara untuk memilih 3 orang = 24 cara 

c) Notasi Faktorial

Hasil kali bilangan asli berurutan disebut faktorial. Hasil kali n bilangan asli pertama disebut n faktorial dan ditulis dengan notasi n!. Untuk setiap bilangan asli n, maka n faktorial didefinisikan sebagai berikut;

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:

n! = 1 × 2 × 3 × ... × (n – 2) × (n – 1) × n

lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2.

Definisi:

n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau

n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1!

perhatikan beberapa contoh soal dibawah ini:

1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12

Permutasi beberapa unsur yang sama

Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai L1 unsur jenis pertama, L2 unsur jenis kedua, L3 unsur jenis ketiga, dan lk unsur jenis ke-k yang sama adalah dapat dirumuskan:

Permutasi beberapa unsur yang sama

Rumusnya
$\frac {n!}{L_1!L_2! !L_k!}$

Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita

lihat contoh berikut.

Berapa banyak kata dapat disusun dari kata:

a. AGUSTUS

b. GAJAH MADA

penyelesaian:

a. AGUSTUS

ada unsur yang sama yaitu huruf U dan huruf S

n = 7

L1 = 2

L2 = 2

banyak cara = $\frac {n!}{l_1!l_2! !L_k!}$

banyak cara = $\frac {7!}{2!2!}$

banyak cara = $\frac {7x6x5x4x3x2!}{2!2x1!}$

banyak cara = 7 x 6 x 5 x 2 x 3

banyak cara = 1260

b. GAJAH MADA

ada unsur yang sama yaitu: huruf A

n = 9

L1 = 4

banyak cara = $\frac {n!}{l_1!l_2! !L_k!}$

banyak cara = $\frac {9!}{4!}$

banyak cara = $\frac {9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4}{4!}$

banyak cara = 9 x 8 x 7 x 6 x 5

banyak cara = 15.120

Permutasi Siklis

Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi siklis. Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara. Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkann sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara. Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat diterangkan sebagai berikut.

Rumus Permutasi Siklis

Rumusnya:
(n-1)!

penyelesaian:

maka banyak cara keempat orang duduk melingkar = (4-1)!

maka banyak cara keempat orang duduk melingkar = 3 x 2 x 1!

maka banyak cara keempat orang duduk melingkar = 6 cara

Silahkan Kunjungi artikel terkait: