Logika Matematika Kelas 11 beserta Operasinya

Hello teman-teman kembali lagi kita pada materi logika matematika, pada materi kali ini kita akan membahas mengenai operasi logika matematika. operasi logika matematika terbagi atas beberapa bagian yaitu Disjungsi, Konjungsi, Implikasi, Biimplikasi, Negasi atau Ingkaran. sebelum kita masuk pada bagian inti mengenai operasi logika matematika, kita tau dulu arti dari pada logika matematika.

Daftar Isi

1. Pengertian Logika Matematika
2. Negasi atau Ingkaran
3. DISJUNGSI
4. KONJUNGSI
5. IMPLIKASI
6. BIIMPLIKASI
7. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
8. Soal Logika Matematika Kelas 11 beserta Operasinya

Pengertian Logika Matematika

apa itu Logika Matematika .?

materi tentang logika matematika tentu tidak asing lagi kita pelajari. pengertian logika adalah lebih dari hasil pertimbangan akal pikiran manusia yang diutarakan dalam bentuk kata-kata yang dinyatakan dalam bentuk bahasa. logika merupakan cabang filasafat yang mempelajari kecakapan berpikir manusia secara luas, teratur, serta tepat. logika secara etimologi berasal dari bahasa yunani yaitu logos yang membentuk kata-kata. logikos yang mana memiliki arti pertimbangan akal pikiran yang diungkapkan melalui kata-kata (bahasa). menurut Jan Hendrik Rapar. "logika Matematika" adalah “Ajaran tentang berpikir yang secara ilmiah membicarakan bentuk pikiran itu sendiri dan hukum-hukum yang menguasai pikiran.” jadi, Logika Matematika adalah penarikan kesimpulan secara deduktif. silogisme terdiri dari beberapa premis yaitu mayor dan minor. kata mayor diawali dengan kata seperti semua sedangkan kata minor diawali dengan kata sebagian, beberapa, sementara.

Operasi Logika Matematika terbagi atas beberapa bagian yaitu:

• Negasi atau Ingkaran
• Konjungsi
• Disjungsi
• Implikasi
• Biimplikasi
• invers, konvers, dan Kontraposisi

Negasi atau Ingkaran

apa itu Negasi atau Ingkaran .?

perhatikan gambar dibawah ini:

misalkan p adalah suatu pernyataan. suatu pernyataan lain yang dibentuk dari pernyataan p dengan cara dituliskan adalah salah, jika menyisipkan kata "tidak" atau "bukan" disebut negasi atau ingkaran yang sering ditulis dalam bentuk "(~)". tabel diatas merupakan salah satu operasi ingkaran atau negasi.

contoh:

keterangan:

negasi dari semua atau setiap adalah ada atau beberapa.

negasi dari ada atau beberapa adalah semua atau setiap.

negasi dari p dapat ditulis "~p"

B = benar

S = salah

i). jik P = benar maka ~P = salah

ii). jika Q = benar maka ~Q = salah

DISJUNGSI

apa itu Disjungsi .?

perhatikan gambar dibawah ini:

pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung logika yang disebut "atau" sehingga membentuk sebuah pernyataan majemuk " P atau Q" yang disebut Disjungsi "P atau Q" dilambangkan dalam bentuk simbol matematika yaitu "P V Q". dan tabel kebenarannya seperti yang tertera gambar diatas.

keterangan:

i). jik P = benar dan Q = benar maka P V Q = benar

ii). jika P = Benar dan Q = salah maka P V Q = benar

iii). jika P = Salah dan Q = Benar maka P V Q = benar

iv). jika P = Salah dan Q = salah maka P V Q = salah.

KONJUNGSI

apa itu Konjungsi .?

perhatikan gambar dibawah ini:

pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung logika yang disebut "dan" sehingga membentuk sebuah pernyataan majemuk " P dan Q" yang disebut Konjungsi "P dan Q" dilambangkan dalam bentuk simbol matematika yaitu "P ∧ Q". dan tabel kebenarannya seperti yang tertera gambar diatas.

keterangan:

i). jik P = benar dan Q = benar maka P ∧ Q = benar

ii). jika P = Benar dan Q = salah maka P ∧ Q = salah

iii). jika P = Salah dan Q = Benar maka P ∧ Q = salah

iv). jika P = Salah dan Q = salah maka P ∧ Q = salah

IMPLIKASI

apa itu Implikasi .?

perhatikan gambar dibawah ini:

pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung logika yang disebut "jika P maka Q jika" sehingga membentuk sebuah pernyataan majemuk " Jika P maka Q" yang disebut implikasi "jika p maka Q" dilambangkan dalam bentuk simbol matematika yaitu "P ⇒ Q". dan tabel kebenarannya seperti yang tertera gambar diatas.

keterangan:

i). jik P = benar dan Q = benar maka P ⇒ Q = benar

ii). jika P = Benar dan Q = salah maka P ⇒ Q = salah

iii). jika P = Salah dan Q = Benar maka P ⇒ Q = Benar

iii). jika P = Salah dan Q = salah maka P ⇒ Q = benar

BIIMPLIKASI

apa itu Biimplikasi .?

perhatikan gambar dibawah ini:

pernyataan p dan q dapat digabung dengan kata hubung logika yang disebut "jika dan hanya jika" sehingga membentuk sebuah pernyataan majemuk " Jika P jika dan hanya jika Q" yang disebut biimplikasi "P jika dan hanya jika Q" dilambangkan dalam bentuk simbol matematika yaitu "P ⇔ Q". dan tabel kebenarannya seperti yang tertera gambar diatas.

keterangan:

i). jik P = benar dan Q = benar maka P ⇔ Q = benar

ii). jika P = Benar dan Q = salah maka P ⇔ Q = salah

iii). jika P = Salah dan Q = Benar maka P ⇔ Q = salah

iii). jika P = Salah dan Q = salah maka P ⇔ Q = benar

iii). jika P = Salah dan Q = salah maka P ⇒ Q = benar

KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

apa itu Konvers, Invers, dan Kontraposisi.?

perhatikan gambar dibawah ini:

dari bentuk implikasi dapat diturunkan pernyataan yang disebut konvers, invers, dan kontraposisi terhadap implikasi tersebut.

i). jika diketahui implikasi P ⇒ Q maka konversnya adalah Q ⇒ P

ii). jika diketahui implikasi P ⇒ Q maka inversnya adalah ~P ⇒ ~Q

ii). jika diketahui implikasi P ⇒ Q maka kontraposisinya adalah ~Q ⇒ ~P

Soal Logika Matematika Kelas 11 beserta Operasinya

kumpulan soal-soal Logika Matematika Kelas 11 beserta operasinya:

contoh soal 1

jika pernyataa-pernyataan p dan q bernilai salah, maka pernyataan yang benar adalah..

a. P ⇔ Q

b. P ∧ Q

c. P ⇒ Q

d. P V Q

penyelesaian:

untuk membuktikan dari beberapa pernyataan diatas masih ingat tabel kebenaran diatas:

P	Q	P ∧ Q	P V Q	P ⇒ Q	P ⇔ Q
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B

diketahui P  dan Q bernilai salah perhatikan tabel dibawah ini:

P	Q	P ∧ Q	P V Q	P ⇒ Q	P ⇔ Q
S	S	S	S	B	B

Jadi, pernyataan yang bernilai benar adalah a dan c.

contoh soal 2

jika pernyataa-pernyataan P dan Q bernilai salah, maka pernyataan dibawah ini yang bernilai benar adalah

a. ~P ⇔ Q

b. P ∧ Q

c. P ⇒ ~Q

d. P V ~Q

penyelesaian:

untuk membuktikan dari beberapa pernyataan diatas masih ingat tabel kebenaran diatas:

P	Q	P ∧ Q	P V Q	P ⇒ Q	P ⇔ Q
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	S	S
S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	B	B

diketahui P  dan Q bernilai salah perhatikan tabel dibawah ini:

keterangan:

a. ~P ⇔ Q

pembuktian:

P	Q	~P	Q	~P ⇔ Q
S	S	B	S	S

pernyataan bernilai salah

b. P ∧ Q

pembuktian:

P	Q	P ∧ Q
S	S	S

pernyataan bernilai salah

c. P ⇒ ~Q

pembuktian:

P	Q	P	~Q	P ⇒ ~Q
S	S	S	B	B

pernyataan bernilai benar

d. P V ~Q

pembuktian:

P	Q	P	~Q	P V ~Q
S	S	S	B	B

pernyataan bernilai benar

kesimpulan dari pernyataan yang bernilai benar adalah c dan d.

contoh soal 3

buktikanlah pernyataan-pernyataan yang ekuivalen P ⇒ Q ≡ ~Q ⇒ ~P  seperti tabel dibawah ini:

P	Q
B	B
B	S
S	B
S	S

penyelesaian:

tahap pertama tentukanlah nilai dari P ⇒ Q

P	Q	P ⇒ Q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

tahap kedua tentukanlah nilai dari ~Q ⇒ ~P

P	Q	~Q	~P	~Q ⇒ ~P
B	B	S	S	B
B	S	B	S	S
S	B	S	B	B
S	S	B	B	B

Jadi terbukti bahwa  P ⇒ Q ≡ ~Q ⇒ ~P  adalah ekuivalen atau memiliki nilai yang sama.

contoh soal 4

buktikanlah pernyataan-pernyataan yang ekuivalen Q ⇒ P ≡ ~P ⇒ ~Q  seperti tabel dibawah ini:

P	Q
B	B
B	S
S	B
S	S

penyelesaian:

tahap pertama tentukanlah nilai dari Q ⇒ P

Q	P	Q ⇒ P
B	B	B
S	B	B
B	S	S
S	S	B

tahap kedua tentukanlah nilai dari ~Q ⇒ ~P

P	Q	~P	~Q	~P ⇒ ~Q
B	B	S	S	B
B	S	S	B	B
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

Jadi terbukti bahwa Q ⇒ P ≡ ~P ⇒ ~Q  adalah ekuivalen atau memiliki nilai yang sama.

contoh soal 5

buktikanlah pernyataan-pernyataan yang ekuivalen ~(P ∧ Q) ≡ ~P V ~Q  seperti tabel dibawah ini:

P	Q
B	B
B	S
S	B
S	S

penyelesaian:

tahap pertama tentukanlah nilai dari ~(P ∧ Q)

P	Q	P  ∧ Q	~(P  ∧ Q)
B	B	B	S
B	S	S	B
S	B	S	B
S	S	S	B

tahap kedua tentukanlah nilai dari ~P V ~Q

P	Q	~P	~Q	~P ∨ ~Q
B	B	S	S	S
B	S	S	B	B
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Jadi terbukti bahwa  P ⇒ Q ≡ ~Q ⇒ ~P  adalah ekuivalen atau memiliki nilai yang sama.

contoh soal 6

buktikanlah pernyataan-pernyataan yang ekuivalen ~(P V Q) ≡ ~P ∧ ~Q  seperti tabel dibawah ini:

P	Q
B	B
B	S
S	B
S	S

penyelesaian:

tahap pertama tentukanlah nilai dari ~(P V Q)

P	Q	P  V Q	~(P  ∧ Q)
B	B	B	S
B	S	B	S
S	B	B	S
S	S	S	B

tahap kedua tentukanlah nilai dari ~P ∧ ~Q

P	Q	~P	~Q	~P ∧ ~Q
B	B	S	S	S
B	S	S	B	S
S	B	B	S	S
S	S	B	B	B

Jadi terbukti bahwa  ~(P V Q) ≡ ~P ∧ ~Q adalah ekuivalen atau memiliki nilai yang sama.