Dimensi Tiga: Proyeksi Titik Dan Garis pada Kubus

Hello teman-teman kembali lagi kita pada materi Dimensi Tiga yaitu proyeksi titik dan Bidang, dimana pembahasan sebelumnya kita sudah mempelajari cara menentukan luas  dan volume bangun ruang, sekarang kita akan membahas Dimensi Tiga yaitu proyeksi titik dan garis.

» Proyeksi Titik Ke Bidang pada Kubus

Pengertian Proyeksi menurut KKBI adalah gambar suatu benda yang dibuat rata (mendatar) atau berupa garis pada bidang datar. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini:

Jika dari titik P ditarik garis PP₁ (P₁ pada bidang ABCD) yang tegak lurus pada bidang ABCD, maka P₁ disebut proyeksi titik P pada bidang ABCD.

P = titik yang diproyeksikan

P₁ = proyeksi

PP₁ = garis pembuat proyeksi (proyektor)

ABCD = bidang.

Oleh karena itu PP₁ tegak lurus pada bidang ABCD, maka proyeksi ini disebut proyeksi Ortogonal (disingkat proyeksi).

» Proyeksi Garis pada Bidang Kubus

Perhatikan sifat-sifat Proyeksi garis pada bidang:

Contoh 1:

Jika garis PQ kita proyeksikan pada bidang ABCD seperti pada gambar diatas. Maka semua proyektor terletak pada satu bidang yang disebut bidang proyektor, dan semua proyeksinya terletak pada satu garis P₁Q₁. Garis P₁Q₁ disebut proyeksi garis PQ pada bidang ABCD.

Contoh 2:

Jika garis PQ tegak lurus terhadap bidang ABCD, maka proykesinya pada bidang ABCD berupa sebuah titik.

Contoh 3:

Jika gari PQ memotong bidang ABCD maka untuk menggambar proyeksinya dilukis titik P₁ yang merupakan proyeksi dari titik P. Garis P₁Q adalah proyeksi garis PQ pada bidang ABCD.

» Ruang Lingkup Pembahasan Soal Proyeksi titik dan Bidang pada Kubus

Perhatikan gambar dibawah ini:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm. tentukan jarak titik A ke ketengah garis CG.........?

penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal diatas gunakan garis bantu titik-titik yang terhubung geris CG

Diketahui sisi = 10 cm,

AC = S√2

AC = 10√2 cm

CP = $\frac{1}{2}$10 cm

CP = 5 cm,

untuk menentukan jarak titik AP

AP² = AC² + CP²

AP = √((10√2)² + 5²)

AP = $\sqrt{200+25}$

AP = $\sqrt{225}$

AP = 15

Maka titik A ke ketengah garis CG = 15 cm

Perhatikan gambar berikut:

Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 48 cm. tentukan jarak proyeksi titik A kebidang BDG:

penyelesaian:

Jarak Titik E ke bidang BDG adalaha EZ (EZ ┴ BDG)

S = 48

MN = AE = 48

EG =  S√2

EG = 48√2

MC = $\frac{1}{2}$48√2 cm = 24√2

EM =MG = $\frac{1}{2}$S√6

EM = $\frac{1}{2}$48√6

EM = 24√6

MG = 24√6

Luas ∆EMG = $\frac{1}{2}$(EG x MN) atau

Luas ∆EMG = $\frac{1}{2}$(MG x EZ)

$\frac{1}{2}$(MG x EZ) = $\frac{1}{2}$(EG x MN)

$\frac{1}{2}$(24√6 x EZ) = $\frac{1}{2}$(48√2 x 48)

24√6 x EZ = 48√2 x 48………….      kedua ruas dibagi 24

√6 x EZ = 2 x 48√2

√6 x EZ = 96√2

EZ = $\frac{96\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$     .................. kedua ruas dikali akar 6

EZ =  $\frac{96\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ x $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

EZ = $\frac{96\sqrt{12}}{6}$

EZ = 16√12

EZ = 16 x 2√3

EZ = 32√3

Jadi proyeksi titik E kebidang BDG = 32√3

Perhatikan gambar berikut:

Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 48 cm. tentukan jarak  titik A kebidang BDG:

Penyelesaian:

S = 48

A ke Bidang BDG = $\frac{2}{3}$S√3

A ke Bidang BDG = $\frac{2}{3}$48√3

A ke Bidang BDG = 32√3

perhatikan gambar dibawah ini:

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2 CG. Panjang prokesi CP pada bidang BDP adalah …. cm

Penyelesaian:

MC = $\frac{1}{2}$S√2

MC = $\frac{1}{2}$6√2

MC = 3√2 cm

CP = 12 cm

MP² = MC² + CP²

MP² = (3√2)² + 12²

MP² = 18 + 144

MP² = 162

MP = √162

MP = 9√2

Untuk menentukan Panjang ZC kita melakukan persamaan luas segitiga MCP

Luas segitiga = $\frac{1}{2}$ alas x tinggi

Luas₁ ∆MC = Luas₂ ∆MC

Luas₁ ∆MC = $\frac{1}{2}$ (MC x CP)

Luas₁ ∆MC =  $\frac{1}{2}$ (3√2  x 12)

Luas₁ ∆MC =  $\frac{1}{2}$(36√2)

Luas₂ ∆MC = $\frac{1}{2}$ (ZC x MP)

Luas₂ ∆MC = $\frac{1}{2}$ (ZC x 9√2)

Luas₁ ∆MC = Luas₂ ∆MC

$\frac{1}{2}$(36√2)= $\frac{1}{2}$ (ZC x 9√2)

36√2 = ZC x 9√2

ZC x 9√2 = 36√2  …………kedua ruas dibagi akar 2

ZC x 9 = 36

ZC = $\frac{36}{9}$

ZC = 4.

Perhatikan segitiga MZC

MZ² = MC² – ZC²

MZ² = (3√2)² – (4)²

MZ² = 18 – 16

MZ² = 2

MZ = √2

Sehingga Panjang prokesi CP pada bidang BDP adalah garis ZP

MP = 9√2

MZ = √2

ZP = MP – MZ

ZP = 9√2 – √2

ZP = 8√2

Diketahui limas segi empat beraturan T. ABCD dengan AB = 6√2 cm dan AT = 10 cm. apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah…. ..?

penyelesaian:

Untuk menyelesaiakan soal diatas:

Tentukan nilai AC

AC² = AB² + BC²

AC² = (6√2)² + (6√2)²

AC² = 36 x 2 + 36 x 2

AC² = 72 + 72

AC² = 144

AC = √144

AC = 12

Sehingga, OC = 6

Menentukan panjang OT

OT² = CT² – OC²

OT² = 10² – 6²

OT² = 100 – 36

OT² = 64

OT = √64

OT = 8 cm

Untuk ∆ OCR

OC = y = 6 cm

CR = r = 10 cm

Sin x = $\frac{y}{r}$

Sin x = $\frac{6}{10}$

Untuk ∆ OPR

OP = y = t

OR = r = 8 cm

Sin x = $\frac{y}{r}$

Sin x = $\frac{t}{8}$

Sin x = Sin x

$\frac{t}{8}$ = $\frac{6}{10}$

10t = 48

t = 4, 8 cm

atau dengan cara lain:

Luas Segitiga OCR = $\frac{1}{2}$ (alas x tinggi)

Luas Segitiga OCR = $\frac{1}{2}$ (OC x OR)

Luas Segitiga OCR = $\frac{1}{2}$ (8 x 6)

Luas Segitiga OCR = $\frac{1}{2}$ (CR x OP)

Luas Segitiga OCR = $\frac{1}{2}$ (t x 10)

Jadi,

$\frac{1}{2}$ (OC x OR) = $\frac{1}{2}$ (CR x OP)

$\frac{1}{2}$ (8 x 6) = $\frac{1}{2}$ (t x 10)

48 = 10t

10t = 48     ..............kedua ruas dibagi 10

t = 4,8

silahkan kunjungi artikel terkait tentang Bangun Ruang: