Bagaimana Cara Menentukan Jarak pada Titik, Garis dan Bidang Kubus

» Pengertian Jarak

Materi sebelumnya kita sudah mengenal dan mempelajari mengenai pengertian, unsur-unsur, menghitung luas, volume, dan panjang kerangka kubus. Sekarang kita akan membahas mengenai bagaimana cara menentukan jarak titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, bidang ke bidang pada Bangun Ruang Kubus. Untuk lebih jelas perhatikan gambar dibawah ini.

Jarak adalah suatu ukuran yang menunjukkan sebarapa jauh posisi suatu objek dengan objek lainnya. Tentu tidak asing lagi kita mempelajari jarak karena sering kita temui dan melakukannya dalam kehidupan kita sehari-hari, misalnya ketika kita berangkat dari rumah ke sekolah sudah terbentuk jarak, ketika kita memindah suatu benda misalnya meja, kursi dan lain sebagainya sudah terbentuk yang namanya jarak dan masih banyak contoh lainnya yang belum disebutkan.

» Menentukan Jarak Titik ke Titik pada Kubus

Materi sebelumnya kita sudah mengenal dan mempelajari mengenai pengertian, unsur-unsur, menghitung luas, volume, dan panjang kerangka kubus. Sekarang kita akan membahas mengenai jarak titik ke titik, titik ke garis, titik ke bidang, bidang ke bidang. Untuk lebih jelas perhatikan gambar dibawah ini.

Jarak titik ke titik pada kubus adalah apabila terdapat dua titik yang ingin dihubungkan maka terbentuk yang namanya jarak.

Menentukan Jarak titik ke titik pada bidang kubus:

• Jarak Titik A ke Titik C

Untuk menentukan jarak titik A ke titik C menggunakan teorema Pythagoras:

AC² = AB² + BC²

AC = $\sqrt{AB^2+BC^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

AC = S√2

S = sisi pada kubus.

• Jarak Titik B ke Titik D

Untuk menentukan jarak titik B ke titik D menggunakan teorema Pythagoras:

BD² = AD² + AB²

BD = $\sqrt{AD^2+AB^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

AC = S√2

S = sisi pada kubus.

• Jarak Titik B ke Titik G

Untuk menentukan jarak titik A ke titik C menggunakan teorema Pythagoras:

BG² = BC² + CG²

BG = $\sqrt{BC^2+CG^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

BG = S√2

Sehingga konsep menentukan jarak titik ke titik pada bidang kubus atau diagonal-diagonal bidang kubus memiliki jarak yang sama yaitu: ⁽¹⁾titik A ke titik C, ⁽²⁾titik B ke titik D, ⁽³⁾titik A ke titik F, ⁽⁴⁾titik B ke titik E, ⁽⁵⁾titik A ke titik H, ⁽⁶⁾titik D ke titik E, ⁽⁷⁾titik D ke titik G, ⁽⁸⁾titik C ke titik H, ⁽⁹⁾titik B ke titik G, ⁽¹⁰⁾titik C ke titik F, ⁽¹¹⁾titik E  titik G, ⁽¹²⁾titik F ke titik H.

Menentukan Jarak titik ke titik pada ruang kubus:

• Jarak Titik A ke Titik G

Untuk menentukan jarak titik A ke titik C menggunakan teorema Pythagoras:

AG² = AC² + CG²

AG = $\sqrt{AC^2+CG^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

AG = S√3

S = sisi pada kubus.

• Jarak Titik  E ke Titik C

Untuk menentukan jarak titik C ke titik E menggunakan teorema Pythagoras:

CE² = AC² + AE²

CE = $\sqrt{AC^2+AE^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

CE = S√3

S = sisi pada kubus.

• Jarak Titik B ke Titik H

Untuk menentukan jarak titik B ke titik H menggunakan teorema Pythagoras:

BH² = BD² + DH²

BH = $\sqrt{BD^2+DH^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

BH = S√3

S = sisi pada kubus.

• Jarak Titik D ke Titik F

Untuk menentukan jarak titik D ke titik F menggunakan teorema Pythagoras:

DF² = BD² + BF²

DF = $\sqrt{BD^2+BF^2}$

Atau dengan cara menggunakan teorema:

DF = S√3.

» Menentukan Jarak Titik ke Garis pada Kubus

Jarak titik ke garis pada kubus adalah apabila terdapat satu titik yang dihubungkan kesalah satu titik. Untuk menentukan jarak titik ke garis pada sebuah kubus tidak terlepas dari teorema Pythagoras.

Jarak titik A ke garis HG yaitu:

Untuk menentukan jarak titik A ke garis HG ada beberapa tahap (untuk lebih jelasnya perhatikan gambar dibawah ini):

Langkah I tentukan panjang AP:

AP ² = AD² + DP²

AP = $\sqrt{AD^2+DP^2}$

Langkah II tentukan panjang AQ:

AQ ² = AP² + PQ²

AQ = $\sqrt{AP^2+PQ^2}$

» Menentukan Jarak Titik ke Bidang pada Kubus

Jarak titik ke Bidang pada kubus adalah apabila terdapat satu titik yang dihubungkan kesalah satu bidang. Untuk menentukan jarak titik ke Bidang pada sebuah kubus tidak terlepas dari teorema Pythagoras.

Misalnya pada gambar 1 

titik A ke Bidang EFGH.

Menentukan jarak titik A ke bidang EFGH menggunakan teorema Pythagoras:

Tahap I tentukan nilai EP:

EP = $\frac{1}{2}$ EG

Tahap I tentukan nilai AP:

AP² = EP² + AE²

AP = $\sqrt{EP^2+AE^2}$

atau dengan menggunakan teorema:

A ke bidang EFGH =$\frac{1}{2}$(S√6)

Jadi konsep menentukan jarak titik A ke bidang EFGH, titik B ke bidang EFGH, titik C ke bidang EFGH, titik D ke bidang EFGH memiliki jarak yang sama.

Pada gambar 5

Menentukan jarak titik E ke bidang AFH:

Jarak titik E ke Bidang AFH = $\frac{1}{3}$(S√3)

S = sisi kubus

Pada gambar 6

Menentukan jarak titik E ke bidang DBG

Jarak titik E ke Bidang BDG = $\frac{2}{3}$(S√3)

S = sisi kubus 

» Menentukan Jarak Bidang ke Bidang pada Kubus

Pada gambar 6

Menentukan jarak Bidang AFH ke bidang BDG

jarak Bidang AFH ke bidang BDG = $\frac{1}{3}$(S√3)

S = sisi kubus 

» Pembahasan Soal Tentang Jarak pada Titik, Garis dan Bidang

Perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 8 cm, tentukanlah jarak titik A ke titik C.

Penyelesaian:

AB = 8 cm

BC = 8 cm

AC² = AB² + BC²

AC = $\sqrt{8^2+8^2}$

AC = $\sqrt{64+64}$

AC = $\sqrt{2 . 64}$

AC = 8√2

Atau dengan cara menggunakan teorema:

Keterangan:  S = 8 cm

AC = S√2

AC = 8√2

Perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 5 cm, tentukanlah jarak titik A ke titik G.

Penyelesaian:

Tahap I tentukan panjang AC:

AB = 5 cm

BC = 5 cm

AC² = AB² + BC²

AC = $\sqrt{5^2+5^2}$

AC = $\sqrt{25+25}$

AC = $\sqrt{2 . 25}$

AC = 5√2

Atau dengan cara menggunakan teorema:

Keterangan:  S = 5 cm

AC = 5√2

AC = (5√2)

Tahap 2 tentukan jarak titik A ke titik G:

AC = 5√2

CG = 5 cm

AG² = AC² + CG²

AG = √((5√2)² + 5²)

AG = $\sqrt{50+25}$

AG = $\sqrt{75}$

AG = 5√3

Atau dengan cara menggunakan teorema:

Keterangan S = 5

AG = S√3

AG = 5√3

Perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus PQRS.TUVW memiliki rusuk 8 cm, tentukanlah jarak titik P ke titik x.

Penyelesaian:

PQ = 8 cm

QX = $\frac{1}{2}$ (8 cm) = 4 cm

Maka panjang P ketitik X

PX² = PQ² + QX²

PX = $\sqrt{8^2+4^2}$

PX = $\sqrt{64+16}$

PX = $\sqrt{80}$

PX = $\sqrt{5.16}$

PX = 4√5

perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus PQRS.TUVW memiliki rusuk 6 cm, tentukanlah jarak titik P ke titik Y.

Penyelesaian:

Tahap I tentukan panjang PX

PS = 6 cm

SX = $\frac{1}{2}$ (6 cm) = 3 cm

Maka panjang P ketitik X

PX² = PS² + SX²

PX = $\sqrt{6^2+4^3}$

PX = $\sqrt{36+9}$

PX = $\sqrt{54}$

Jadi, PX = √54 cm

Maka panjang PY

PY² = PX² + XY²

PX = √54 cm

XY = 6 cm

PY = √((√54 )² + 6²)

PY = $\sqrt{54+36}$

PY = $\sqrt{100}$

PY = 10 cm

sehingga jarak titik P ke titik Y adalah 10 cm

perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus PQRS.TUVW memiliki rusuk 10 cm, tentukanlah jarak titik P ke Bidang TUVW.

Penyelesaian:

Untuk menyelesaikan soal diatas ada dua cara:

Cara I: menggunakan teorema Pythagoras:

WT = 10 cm

 VW= 10 cm

Maka panjang TV

TV² = WT² + VW²

TV = $\sqrt{10^2+10^2}$

TV = $\sqrt{100+100}$

TV = $\sqrt{2. 100}$

Jadi, TV = 10√2 cm

Kemudian tentukan panjang P ke Bidang TUVW.

TO = $\frac{1}{2}$ (10)($\sqrt{2}$) = 5√2 cm

PT = 10 cm

PO² = TO² + PT²

PO = √((5√2)² + 10²)

PO = $\sqrt{50+100}$

PO = $\sqrt{150}$

PO = 5√6 cm

Cara II:

PO = $\frac{1}{2}$ S√6

Sisi = 10 cm

PO = $\frac{1}{2}$ 10√6

PO = 5√6 cm

Jadi, kesimpulan cara I dan cara II memiliki jawaban yang sama.

perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus PQRS.TUVW memiliki rusuk 20 m, tentukanlah:

a. jarak titik P ke Bidang TUVW.       

b. jarak titik Q ke Bidang TUVW.

c. jarak titik R ke Bidang TUVW.

d. jarak titik S ke Bidang TUVW.

Penyelesaian:

a. jarak titik P ke Bidang TUVW.

PO = $\frac{1}{2}$ S√6

Sisi = 20 cm

PO = $\frac{1}{2}$ 20√6

PO = 10√6 cm

b. jarak titik Q ke Bidang TUVW.

QO = $\frac{1}{2}$ S√6

Sisi = 20 cm

QO = $\frac{1}{2}$ 20√6

QO = 10√6 cm

c. jarak titik R ke Bidang TUVW.

RO = $\frac{1}{2}$ S√6

Sisi = 20 cm

RO = $\frac{1}{2}$ 20√6

RO = 10√6 cm

d. jarak titik S ke Bidang TUVW.

SO = $\frac{1}{2}$ S√6

Sisi = 20 cm

SO = $\frac{1}{2}$ 20√6

SO = 10√6 cm

perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus PQRS.TUVW memiliki rusuk 60 m, tentukanlah:

a. jarak titik T ke Bidang PUW.         

b. jarak titik R ke Bidang PUW.

Penyelesaian:

a. jarak titik T ke Bidang PUW.         

TO = $\frac{1}{3}$ S√3

S = 60 m

TO = $\frac{1}{3}$ 60√3

TO = 20√3 m

a. jarak titik R ke Bidang PUW.

RO = $\frac{2}{3}$ S√3

S = 60 m

RO = $\frac{2}{3}$ 60√3

RO = 40√3 m

perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 90 m, tentukanlah:

a. jarak titik E ke Bidang BDG.          

b. jarak titik C ke Bidang BDG.

Penyelesaian:

a. jarak titik E ke Bidang BDG.          

EP = $\frac{1}{3}$ S√3

S = 90 m

EP = $\frac{1}{3}$ 90√3

EP = 30√3 m

b. jarak titik C ke Bidang BDG.

CP = $\frac{2}{3}$ S√3

S = 90 m

CP = $\frac{2}{3}$ 90√3

CP = 60√3 m

perhatikan gambar dibawah ini:

Kubus ABCD.EFGH memiliki rusuk 120 m, tentukanlah jarak Bidang AFH ke Bidang BDG.

Penyelesaian:

jarak Bidang AFH ke Bidang BDG = $\frac{1}{3}$ S√3

S = 120

jarak Bidang AFH ke Bidang BDG = $\frac{1}{3}$ 120√3

jarak Bidang AFH ke Bidang BDG = 40√3

silahkan kunjungi artikel terkait tentang Bangun Ruang: